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凸约束优化问题中投影梯度方法的理论研究

作　者: 刘茜
导　师: 王长钰
学　校: 曲阜师范大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 投影梯度非单调线搜索收敛性有限步终止误差界
分类号: O224
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

最优化方法是运筹学的一个重要组成部分，在自然科学、社会科学、生产实际、工程设计和现代化管理中具有广泛的应用。很多实际问题都可以归结为最优化问题来解决。本文对凸约束最优化问题的投影梯度算法的理论分析进行了探讨，主要是投影梯度方法的误差界估计，非单调谱投影梯度方法(SPG)和非精确投影梯度方法的收敛性分析。论文分四章来叙述。第一章是绪论部分。简要介绍了投影梯度方法，误差界估计以及本文的主要工作。第二章研究了非单调谱投影梯度算法的收敛性。本章是在Birgin，Martinez和Raydan(2000)提出的非单调谱投影梯度算法的基础上，对其收敛性作了进一步研究。我们去掉了现有的一些方法中各种有界性假设，例如：f(.)有下界，{x_k}有界或{x_k}存在聚点等等，在▽f(.)一致连续的假设下建立了算法的收敛性定理。同时，我们获得了算法投影梯度收敛于0的结果。而Birgin，Martinez和Raydan(2000)中的聚点收敛定理是这个结果的一个自然的推论。进一步，我们在适当的条件下证明了算法产生的迭代序列{x_k}的若干良好的收敛性质，例如：{x_k}的整体收敛性和有限步终止性等。其中有限步终止性定理是Burke和Ferris(1993)以及Marcotte和Zhu(1998)中相应结果的改进和推广。从而，我们在理论上说明了SPG方法的有效性。第三章研究了投影梯度方法的误差界估计。在本章中，我们首先通过投影梯度方法的子问题(QP(x))曲阜师范大学硕士学位论文定义了一个价值函数，研究了它的一些基本性质。在各种不同的条件下(包括甲f(·)强单调，Vf(·)单调，以及甲f(·)伪单调的情况)，证明了价值函数分别为迭代点列到最优解集合的距离提供了全局或局部误差界估计.最后，通过这些误差界，我们给出了由投影梯度方法产生的迭代序列收敛的条件. 第四章是对非精确投影算法的收敛性进行了分析.首先，非精确变量矩阵算法是第二章中非单调谱投影梯度算法的推广。我们在Bil’gill，Martfnez和Ra}’dan(20O3)的基础上，对非精确变量矩阵算法作了进一步的理论分析，去掉了水平集有界的假设，在较弱的条件下，即甲f(·)一致连续的条件下，建立了算法的收敛性定理。并且在非精确变量矩阵算法基础上结合M.v.501。d。vand B .F.Svaiter(1999)中为求解变分不等式问题而提出的混合投影算法中的部分技巧得到了一个新的方法。这种新的方法具有如下好的性质:即在只假设f伪凸的条件下，由此方法产生的迭代序列具有整体收敛性质。

全文目录

第一章绪论  9-15
  1.1 投影梯度方法  9-10
  1.2 误差界估计  10-11
  1.3 本文的主要工作  11-12
  1.4 预备知识  12-15
第二章非单调谱投影梯度方法的收敛性分析  15-32
  2.1 引言  15-16
  2.2 基本引理  16-17
  2.3 算法  17-18
  2.4 算法的收敛性  18-25
  2.5 算法的整体收敛性  25-28
  2.6 算法的有限步终止性  28-32
第三章关于投影梯度方法的误差界估计  32-47
  3.1 引言  32-33
  3.2 价值函数的性质  33-34
  3.3 价值函数水平集的一致有界性  34-36
  3.4 误差界估计  36-43
  3.5 投影梯度方法的收敛性结果  43-47
第四章非精确投影梯度方法的收敛性分析  47-56
  4.1 引言  47-48
  4.2 非精确变量矩阵算法的收敛性  48-52
  4.3 非精确混合投影算法及其整体收敛性  52-56
参考文献  56-61
在校期间的研究成果  61-62
致谢  62

凸约束优化问题中投影梯度方法的理论研究

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