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求解几类特殊的约束矩阵方程的理论与算法研究

作　者: 孟纯军
导　师: 胡锡炎；张磊
学　校: 湖南大学
专　业: 应用数学
关键词: 闭凸锥 投影梯度法 最小二乘解 矩阵反问题 矩阵逆特征值问题 矩阵完全化 最佳逼近
分类号: O241.6
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
下　载: 354次
引　用: 12次
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内容摘要


约束矩阵方程广泛应用于系统工程、自动控制、统计学、经济学、网络规划、土木工程、振动理论等。本篇博士论文主要研究了以下几类约束矩阵方程问题以及数值解法：问题Ⅰ 给定矩阵A，B∈Rm×n，集合S(?)Rn×n，寻求X∈S，使得‖AX-B‖=min．问题Ⅱ 给定矩阵X，B∈Rm×n，集合S(?)Rm×m，寻求A∈S，使得AX=B．问题Ⅲ 给定特征值矩阵A∈Rk×k，A为对角阵或二阶块对角矩阵，以及相应的特征向量矩阵X∈Rn×k，集合S(?)Rn×n，寻求A∈S，使得AX=XA．或者‖AX-XA‖=min．问题Ⅳ 给定矩阵A11∈Rm1×n1，A12∈Rm1×n2，A21∈Rm2×n1，m1+m2=n1+n2=n，以及矩阵集合S(?)Rn×n，寻求子块A22∈Rm2×n2，使得完全化的矩阵 问题Ⅴ 给定A*∈Rn×n，设SE为上述问题的解集合，寻求解矩阵A∈SE，使得 本文的主要研究成果如下：1． 本文研究了问题Ⅰ在闭凸锥上的一种新的数值解法。创造性地利用闭凸锥上的逼近理论、凸分析理论研究了最小二乘解的特征，结合最优化理论，提出了投影梯度算法，理论上证明了算法的全局收敛性和线性收敛性。对8种常见的闭凸锥，系统地提供了MATLAB程序，使求解变得方便、容易。2． 对于问题Ⅱ，首次研究了约束矩阵集合S分别为广义反射矩阵、反对称正交矩阵、部分等距算子、正交投影算子的情况下矩阵反问题的解，克服了约束矩阵集合均为有界闭集带来的困难，成功地得到了有解的条件，并研究了最小二乘解，提供了算法、部分MATLAB程序以及相应的数值实例。求解几类特殊的约束矩阵方程的理论与算法研究3.对于问题Hl，我们研究了Hamilton矩阵约束下矩阵逆特征值问题的最小二 乘解，首次给出了MATIAB程序计算最小二乘解和最小范数解;研究了正交 矩阵约束下逆特征值问题有解的条件，和最佳逼近解的求法，给出相应的算法 和数值实例。4.对于问题W，我们继续研究了可逆矩阵的完全化问题，首次得到了通解、 最小范数解和最佳逼近解;首次研究反对称可逆矩阵完全化约束下矩阵的最 佳逼近间题，提供了算法计算唯一最佳逼近解;首次提出并研究了正交投影 算子的完全化问题，得到了有解的条件，并首次与矩阵的秩联合起来考虑完全 化，成功地编制了M ATLAB程序计算具有任意给定秩的解。5.我们继续研究了有界闭集、子空间和线性流形上的最佳逼近问题，给出了求 解的方法和数值算例。 本篇博士论文得到了国家自然科学基金的资助。 本篇博士论文用拌玫江2:软件打印.关键词:闭凸锥;投影梯度法;最小二乘解;矩阵反问题;矩阵逆特征值问题;矩阵完全化;最佳逼近.了

全文目录


摘要  5-7
Abstract  7-9
第1章 绪言  9-17
  1．1 课题发展概论  9-12
  1．2 本文所做的工作及主要创新点  12-15
  1．3 本文所用的记号  15-17
第2章 几类矩阵完全化问题及其数值解法  17-42
  2．1 引言  17
  2．2 可逆矩阵的完全化问题及算法  17-26
  2．3 反对称矩阵的完全化问题及算法  26-33
  2．4 正交投影算子的完全化问题及算法  33-42
第3章 几类特殊约束的矩阵方程 AX=B 的解及其最佳逼近  42-86
  3．1 引言  42-43
  3．2 广义反射矩阵约束下矩阵方程 AX=B 的解  43-61
  3．3 反对称正交矩阵约束下矩阵方程 AX=B 的解  61-73
  3．4 部分等距算子约束下矩阵方程 AX=B 的解  73-80
  3．5 正交投影算子约束下矩阵方程 AX=B 的解  80-86
第4章 闭凸锥上求解矩阵方程 AX=B 的最小二乘解的数值方法  86-129
  4．1 引言  86
  4．2 理论基础  86-98
  4．3 非负约束下矩阵方程 AX=B 的最小二乘数值解  98-112
  4．4 半正定约束下矩阵方程 AX=B 的最小二乘数值解  112-129
第5章 逆特征值问题及其最佳逼近  129-145
  5．1 Hamilton矩阵的逆特征值问题及其最佳逼近  129-138
  5．2 正交矩阵的逆特征值问题及其最佳逼近  138-145
结论  145-147
参考文献  147-155
致谢  155-157
附录A (攻读学位期间所发表的学术论文目录)  157

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 线性代数的计算方法
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