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分数阶常微分方程的高阶多步法和变分数阶扩散方程的数值方法

作　者: 林然
导　师: 刘发旺
学　校: 厦门大学
专　业: 计算数学
关键词: 分数阶方程高阶多步法变分数阶
分类号: O175.1
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
下　载: 338次
引　用: 3次
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内容摘要

分数微积分的出现已有300多年的历史,它的应用领域很广,包含各种材料的记忆、力学和电特性描述、地震分析、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、机器人、电子电路、电解化学、分数电容理论、电极电解质接口描述、分形理论,特别是描述自相似和多孔结构的动态过程、分数阶控制器设计、弹粘性系统和柔软构造物体的振动控制、分数阶生物神经元和概率论等。分数阶微分方程的特点是含有非整数阶导数,能非常有效的描述各种各样的物质的记忆和遗传性质,在工程,物理,金融,水文等领域发挥越来越重要的作用。这篇文章主要由下面几个部分组成。绪言部分介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识,给出了分数阶微积分一些基本定义和性质。接下来的第二章中,首先从基本的分数阶常微分方程出发,对Lubich提出的一个关于分数阶导数的高阶近似,将其应用于分数阶微分方程,构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程的数值求解,并在理论上给出这一算法的误差分析,证明了它的相容性,收敛性和稳定性。第三章对于一个推广到分数阶的松驰方程,直接利用Gru¨nwald-Letnikov分数阶导数定义进行离散,得到分数阶松驰方程一个数值方法,并给出了相容性,收敛性和稳定性的证明。在第四章中,进一步的考虑更复杂的非线性分数阶常微分方程,同样利用的是Lubich提出分数阶导数的高阶近似,构造相应的数值格式,并给出这一算法的误差分析,即相容性,收敛性和稳定性的证明。第五章考虑变分数阶的微分方程,在近来提出的一些模型中,分数阶导数的阶数会随着时间或空间的变化而变化,因此在最后一章中我们讨论基于Riesz分数阶导数的一类变分数阶扩散方程,给出求解这样一个方程的一个数值方法,并对其相容性,收敛性和稳定性进行了证明。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-13
第一章绪论  13-22
  1.1 引言  13-16
  1.2 分数阶积分  16-17
  1.3 Riemann-Liouville分数阶导数  17
  1.4 Grünwald-Letnikov分数阶导数  17-18
  1.5 其他的一些定义  18-19
  1.6 分数阶微积分的一些些性性质  19-22
    1.6.1 幂函数以及一些常见函数的分数阶微积分  19-20
    1.6.2 分数阶算子的复合运算  20-21
    1.6.3 分数阶导数的积分变换  21-22
第二章分数阶常微分分方方程的高阶数值方方法法  22-40
  2.1 分数阶常微分分方方程  22-23
  2.2 分数阶导数的离散  23-24
  2.3 分数阶常微分分方方程的数值方方法法  24-25
  2.4 分数阶线性多步法的误差估计  25-33
    2.4.1 预备部分  25-26
    2.4.2 相容性，收敛性和稳定性  26-33
  2.5 数值例子  33-40
第三章分数阶松驰方程的数值方方法法  40-50
  3.1 引言  40-41
  3.2 相容性  41-42
  3.3 稳定性  42-44
  3.4 收敛性  44-46
  3.5 数值例子  46-50
第四章非线性分数阶常微分分方方程的高阶方方法法  50-73
  4.1 高阶分数阶线性多步法  50-54
  4.2 相容性  54-55
  4.3 收敛性  55-58
  4.4 稳定性  58-60
  4.5 数值例子  60-73
第五章非线性变分数阶扩散方程的显式差分近似  73-90
  5.1 非线性变分数阶扩散方程  73-75
  5.2 方程的显式差分近似  75-77
  5.3 预备引理  77-81
  5.4 收敛性  81-84
  5.5 稳定性  84-85
  5.6 数值例子  85-90
参考文献  90-96
致谢  96-97
在学期间完成的学术论文  97

分数阶常微分方程的高阶多步法和变分数阶扩散方程的数值方法

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