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分数阶方程在金融模型中的应用与数值解
作 者: 李文月
导 师: 肖建斌
学 校: 杭州电子科技大学
专 业: 复分析及其应用
关键词: Black-Scholes-Merton期权定价 分数阶方程 显、隐式差分格式
分类号: F224;F830
类 型: 硕士论文
年 份: 2009年
下 载: 140次
引 用: 1次
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内容摘要
分数阶方程在物理,工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用,本文把分数阶方程应用到金融中去,得到若干结果。Black-Scholes-Merton期权模型作为一种金融工具,在期权定价中显示出强大的生命力。但是它仍然存在理论缺陷且与实际的观测并不一致比如,非正态、非独立、非线性等,这种理论缺陷导致在金融市场中期权理论价格要低于实际市场价格。为改变这种状况,引进分数阶方程到期权中来,以试图达到市场公正的理想预期。本文主要引入分形中知识,导出时间分数阶Black-Scholes-Merton期权定价公式,结果显示,改进后的公式所得期权价格要优于Black-Scholes-Merton期权定价公式价格;其次,为解决股票价格在小时间段内出现较大跳跃,引入lévy分布,但仅求得此公式的数值解,且得解条件是苛刻的。在第一章中,主要介绍了文章的研究背景与相关的预备知识。分别介绍了期权及期权定价公式、分数阶方程国内外研究状况,再者主要讲述了分数阶方程的有关定义、性质和分形的部分内容。在第二章中,引入分形几何中传输系统,把期权价格视为分形传输系统,建立一个流量与速率的关系式,导出分形结构与期权扩散过程的清晰关联。从这一关系式出发,引出时间分数阶R-L微分方程。运用分数阶方程基本求解方法,如laplace变换、分数阶微积分共轭算子理论、常数阶偏微分算子理论,得到这个时间分数阶微分方程解析解。结果显示,改进后的Black-Scholes-Merton期权定价公式所得出的期权价格与实际期权价格的误差相对要小。这说明改进后的期权定价公式有实际意义。在第三章中,首先用Grunwald公式离散分数阶导数,从而建立空间分数阶对流-扩散方程显、隐式差分格式,然后证明这些格式是稳定的,结果表明,要求得数值解,条件是苛刻的。其步骤是,从lévy分布入手,引入lévy分布中判断时间独立变量有非独立、稳定增值的充分必要条件,然后,得股票价格的一个简单解,随之运用laplace变换及前面所得解改变Black-Scholes期权定价公式,进而求数值解。意义在于从lévy分布的角度入手,深入研究Black-Scholes模型。在第四章中,对进一步工作提出一些想法,希望同时从时间-空间两方面入手,对Black-Scholes-Merton期权定价公式更好的改进。
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全文目录
摘要 5-6 ABSTRACT 6-8 第一章 引言与预备知识 8-15 1.1 引言 8-10 1.1.1、 关于分数阶方程 8-9 1.1.2、 关于BS 模型 9-10 1.2 预备知识 10-15 1.2.1 分数阶微积分理论及其性质 10-12 1.2.2 Mittag-Leffler 函数 12-13 1.2.3 积分变换的有关性质 13 1.2.4 主要引理 13 1.2.5 分形 13-15 第二章 时间分数阶Black-Scholes-Merton 期权定价公式 15-23 2.1 模型的建立 15-16 2.2 导出时间分数阶Black-Scholes-Merton 方程 16 2.3 求解欧系看涨期权 16-20 2.4 求解欧系看涨期权 20-21 2.5 实例说明 21-23 第三章 期权定价公式的数值解 23-33 3.1 期权定价公式空间分数阶公式的建立 23-25 3.1.1 引入lévy 分布 23-24 3.1.2 将3.11 结果的进行推广 24-25 3.2 对空间分数阶期权定价公式进行数值求解 25-33 3.2.1 稳定性的分析 27-30 3.2.2 收敛性分析 30-33 第四章 总结与展望 33-34 参考文献 34-37 致谢 37-38 附录 38
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中图分类: > 经济 > 财政、金融 > 金融、银行 > 金融、银行理论
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