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分数阶方程在金融模型中的应用与数值解

作 者: 李文月
导 师: 肖建斌
学 校: 杭州电子科技大学
专 业: 复分析及其应用
关键词: Black-Scholes-Merton期权定价 分数阶方程 显、隐式差分格式
分类号: F224;F830
类 型: 硕士论文
年 份: 2009年
下 载: 140次
引 用: 1次
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内容摘要


分数阶方程在物理,工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用,本文把分数阶方程应用到金融中去,得到若干结果。Black-Scholes-Merton期权模型作为一种金融工具,在期权定价中显示出强大的生命力。但是它仍然存在理论缺陷且与实际的观测并不一致比如,非正态、非独立、非线性等,这种理论缺陷导致在金融市场中期权理论价格要低于实际市场价格。为改变这种状况,引进分数阶方程到期权中来,以试图达到市场公正的理想预期。本文主要引入分形中知识,导出时间分数阶Black-Scholes-Merton期权定价公式,结果显示,改进后的公式所得期权价格要优于Black-Scholes-Merton期权定价公式价格;其次,为解决股票价格在小时间段内出现较大跳跃,引入lévy分布,但仅求得此公式的数值解,且得解条件是苛刻的。在第一章中,主要介绍了文章的研究背景与相关的预备知识。分别介绍了期权及期权定价公式、分数阶方程国内外研究状况,再者主要讲述了分数阶方程的有关定义、性质和分形的部分内容。在第二章中,引入分形几何中传输系统,把期权价格视为分形传输系统,建立一个流量与速率的关系式,导出分形结构与期权扩散过程的清晰关联。从这一关系式出发,引出时间分数阶R-L微分方程。运用分数阶方程基本求解方法,如laplace变换、分数阶微积分共轭算子理论、常数阶偏微分算子理论,得到这个时间分数阶微分方程解析解。结果显示,改进后的Black-Scholes-Merton期权定价公式所得出的期权价格与实际期权价格的误差相对要小。这说明改进后的期权定价公式有实际意义。在第三章中,首先用Grunwald公式离散分数阶导数,从而建立空间分数阶对流-扩散方程显、隐式差分格式,然后证明这些格式是稳定的,结果表明,要求得数值解,条件是苛刻的。其步骤是,从lévy分布入手,引入lévy分布中判断时间独立变量有非独立、稳定增值的充分必要条件,然后,得股票价格的一个简单解,随之运用laplace变换及前面所得解改变Black-Scholes期权定价公式,进而求数值解。意义在于从lévy分布的角度入手,深入研究Black-Scholes模型。在第四章中,对进一步工作提出一些想法,希望同时从时间-空间两方面入手,对Black-Scholes-Merton期权定价公式更好的改进。

全文目录


摘要  5-6
ABSTRACT  6-8
第一章 引言与预备知识  8-15
  1.1 引言  8-10
    1.1.1、 关于分数阶方程  8-9
    1.1.2、 关于BS 模型  9-10
  1.2 预备知识  10-15
    1.2.1 分数阶微积分理论及其性质  10-12
    1.2.2 Mittag-Leffler 函数  12-13
    1.2.3 积分变换的有关性质  13
    1.2.4 主要引理  13
    1.2.5 分形  13-15
第二章 时间分数阶Black-Scholes-Merton 期权定价公式  15-23
  2.1 模型的建立  15-16
  2.2 导出时间分数阶Black-Scholes-Merton 方程  16
  2.3 求解欧系看涨期权  16-20
  2.4 求解欧系看涨期权  20-21
  2.5 实例说明  21-23
第三章 期权定价公式的数值解  23-33
  3.1 期权定价公式空间分数阶公式的建立  23-25
    3.1.1 引入lévy 分布  23-24
    3.1.2 将3.11 结果的进行推广  24-25
  3.2 对空间分数阶期权定价公式进行数值求解  25-33
    3.2.1 稳定性的分析  27-30
    3.2.2 收敛性分析  30-33
第四章 总结与展望  33-34
参考文献  34-37
致谢  37-38
附录  38

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