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图的Wiener指标与Hosoya多项式

作　者: 徐守军
导　师: 张和平
学　校: 兰州大学
专　业: 基础数学
关键词: 拓扑指标 Wiener指标 Schultz指标 Hosoya多项式 推广Hosoya多项式 单峰性
分类号: O157.5
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要


一个图的Wiener指标是指该图所有顶点对间的距离之和．环面六角系统是环面上的三正则二部图，满足每一个面的边界是六角形．它能够由三个整数p，q，t构成的字符串（p，q，t）来表示（p≥1，q≥1，0≤t≤p-1）．在最近文献[MATCH45（2002）109-122]中，M．V．Diudea得到了几类环面上网格图的Wiener指标的公式，其中包括当t≡-q/2（mod p）时的环面六角系统．在第二章中，我们给出了参数p，q和t满足一定条件下的环面六角系统的Wiener指标的具体公式，这个条件为：要么t=0要么p≤2q要么p≤q+t．显然，这里包含条件t=-q/2（mod p）的情况．设G是一个连通图，我们用记号d（G，k）来表示图G中所有距离为k的顶点对的个数。图G的Hosoya多项式定义为：在第三章中，我们分别给出锯齿形开口纳米管和长城形开口纳米管的Hosoya多项式的具体分析表达式．进一步地，它们的Wiener指标和超Wiener指标可以容易得到．这是因为一个图G的Wiener指标就等于它的Hosoya多项式H（G，x）对变量x求一阶导数后在x=1点的取值，而图G的超Wiener指标恰等于xH（G，x）对变量x求二阶导数后在x=1点取值的一半．最后，我们证明了锯齿形开口纳米管的Hosoya多项式是单峰的．图G的子图H称为门的，如果对于H外的任意一个顶点x，存在H中的一个顶点x1，满足对于H中的每一个顶点y，都有一条经过x1的x与y之间的最短路．两个子图G1和G2的门合并就是通过粘G1和G2中的同构门子图而得到．在第四章中，我们证明了关于在门合并运算下的Hosoya多项式递推公式的两个定理．作为它们的应用，我们得到了苯链的Hosoya多项式的具体表达式．类似于Wiener指标，游森棚等人[Int．J．Quantum Chem．106（2006）423-435]引入了三类推广的Wiener指标，包括Schultz指标和修改的Schultz指标，并给出苯链的推广Wiener指标的类似公式．与推广Wiener指标相对应，他们还定义了图的推广Hosoya多项式，满足它们一阶导数在x=1点的值就等于推广Wiener指标．在第五章中，我们给出了苯链的推广Hosoya多项式的分析表达式．对于一个图G，我们用记号dG（u，v）来表示G中顶点对u和v之间的距离，用记号dG（u）来表示顶点u的度．那么G的Hosoya多项式H（G）有另外一种表示：对于任意正整数m和n，G的部分Hosoya多项式定义为：特别地Hm（G）=Hmm（G）．在第六章中我们证明了：对于任意的有同样多六角形的cata-型苯系统G1和G2，有H（G1）-H（G2）=x2（x+1）2（H3（G1）-H3（G2）），H2（G1）-H2（G2）=（x2+x-1）2（H3（G1）-H3（G2））和H23（G1）-H23（G2）=2（x2+x-1）（H3（G1）-H3（G2））．作为一个推论，我们分别建立了H（G）与由Gutman构造的两个图多项式[Bulletin de l’Académie Serbe des Sciences et desArts 131（2005）1-7]之间一种仿射关系．

全文目录


前言  5-7
中文摘要  7-9
英文摘要  9-13
第一章 引言  13-27
  1.1 基本概念、术语和记号  13-16
  1.2 物理化学背景与问题的提出  16-18
  1.3 研究问题的进展  18
  1.4 主要结果  18-27
    1.4.1 环面六角系统的Wiener指标  18-19
    1.4.2 纳米管上六角系统的Hosoya多项式及其性质  19-22
      1.4.2.1 锯齿形开口纳米管T(p,q)  19-21
      1.4.2.2 长城形开口纳米管T_A(p,q)  21-22
    1.4.3 门合并运算下的Hosoya多项式  22-23
    1.4.4 苯链的推广Hosoya多项式  23-24
    1.4.5 Cata-型苯系统的Hosoya多项式的分解  24-27
第二章 环面六角系统的Wiener指标  27-43
  2.1 引言  27-28
  2.2 从纳米管到环面六角系统  28-33
  2.3 计算Wiener指标  33-40
    2.3.1 根据k的取值范围来表示S_H(k;v_0)  33-36
    2.3.2 根据p的取值范围来表示S_H(k;v_0)  36-38
    2.3.3 H(p,q,t)的Wiener指标的具体公式  38-40
  2.4 讨论  40-43
第三章 纳米管上六角系统的Hosoya多项式及其性质  43-67
  3.1 引言  43-44
  3.2 锯齿形开口纳米管的Hosoya多项式  44-53
    3.2.1 一些与纳米管上距离相关的引理  44-45
    3.2.2 主要结论  45-48
    3.2.3 定理3.2.2的证明  48-53
  3.3 长城形开口纳米管的Hosoya多项式  53-67
    3.3.1 记号及一些与距离相关的引理  53-59
    3.3.2 主要结论及证明  59-67
第四章 在门合并运算下的Hosoya多项式  67-79
  4.1 引言  67
  4.2 两个定理  67-70
  4.3 运用到苯链上  70-77
    4.3.1 直链  70-71
    4.3.2 苯链  71-77
  4.4 讨论  77-79
第五章 苯链的推广Hosoya多项式  79-87
  5.1 引言  79-80
  5.2 部分Hosoya多项式  80-84
  5.3 主要结论  84-87
第六章 cata-型苯系统的Hosoya多项式分解  87-101
  6.1 引言  87
  6.2 关于cata-型苯系统上的部分Hosoya多项式的一些引理  87-89
  6.3 主要结论  89-90
  6.4 苯链的Hosoya多项式的分解定理  90-94
  6.5 cata-型苯系统的kink变换  94-95
  6.6 kink变换中部分Hosoya多项式变化之比  95-99
  6.7 定理6.3.1的证明  99-101
参考文献  101-107
在读期间完成的主要论文  107-108
致谢  108

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