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F-映射的研究

作　者: 王立娟
导　师: 廖公夫
学　校: 吉林大学
专　业: 基础数学
关键词: Hausdorff维数右导数非游荡集连续映射重正化可行方法连续解方程的解构造性证明渐进性态
分类号: O19
类　型: 博士论文
年　份: 2004年
下　载: 78次
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内容摘要

1978年，Feigenbaum首先发现在倍周期分叉传递到混沌的过程中具有惊人的数量普适现象(即所谓的Feigenbaum现象)，进而他提出利用重正化群方法来解释这一现象。迄今，整个理论完全建立在Feigenbaum对某类函数空间的若干几何假设上，其中一个基本而关键的假设是关于重正化算子存在不动点，即相应的函数方程存在解的假设。之后这二十多年，有关Feigenbaum现象的研究倍受世人瞩目。时至今日，包括物理、化学、生物、生态以及数学的各个分支在内的众多领域的科学工作者已在这方面取得了丰硕的研究成果，使我们不仅知道了Feigenbaum函数方程存在解、存在什么样的解，而且清楚了如何具体构作其连续的、可微的乃至光滑的解，还了解到解的一些动力性态。为了更好的解释Feigenbaum现象，探索普适机理，1984年，Eckmann，Epstein和Wittwer考虑了广泛意义下的Feigenbaum函数方程并指出当p充分大时，上述方程的解近似于二次方程f(x)=1-2x~2廖公夫又提出如下的方程并指出它与方程(1)所发挥的作用相同，且这两个方程的解之间有非常直接的联系.还给出了构造方程(l)的可微偶单峰解的一可行方法.本文进一步证明了p阶Feigenbaum映射的非单谷连续解的存在性，并给出了构作它的一种可行方法. 动力系统的一个很有趣的主题是它的拟极限集.拟极限集的概念是在1985年由Milnor给出的: 设M为光滑紧致流形(可以带边)，为连续映射.f的拟极限集A=A(f)意指f在M中满足如下条件的最小的不变闭子集:对几乎Lebesgue所有的在Milnor定义的吸引子意义下，拟极限集是系统惟一的极大吸引子，它集中了几乎全部点的渐进性态，因此研究这类子集很有意义. 1997年，廖公夫、黄桂丰和何伯和研究了一类无穷多峰Feigenbaum映射的拟极限集，估计了它们的Hausdorff维数，并证明了对于O，1之间的任意一个小数s，都存在区间上的连续映射，使其有一个以S为Hausdorff维数的拟极限集.由于p=2时的Feigenbaum映射的单谷扩充连续解只有2的方幂周期点，于是其拓扑嫡必为零且不是Li一物rke混沌的.又李天岩、J .Yorke指出周期3蕴含混沌.另外Louls Block还给出了映射f具有非2方幂周期的充要条件是f有一条非简单的2的方幂周期轨.于是我们自然会问，对p全3，p阶Feigenbaum映射的拟极限集会是怎样的一种状态呢?本文将给出具体回答，主要考虑p=3和4的情形.以下我们简称单位区间上的p阶Feigenbaum映射为F一映射.中文摘要本文先是概述了F一映射研究的历史与现状，给出了F一映射的一些性质，构造性证明了非单谷的F一映射的存在性，之后从Hausdorff维数和Hausdorff测度两方面考察了3阶和4阶F一映射的具有分形结构的拟极限集，最后对4阶F一映射给出了共扼分类一一I型和H型.主要结果如下: 一、设。<久<1，f0是阵，l]上的连续函数.如果f0满足: (l)存在a任(1川，l)使九(司二。且f01队川严格递减，f0}[a，l]严格递增; (2)君一‘(1)=入，君(入)=入f0(1): (3)记J0=[a。，1]。(入，1}，入=允(J0)，这里a。满足君一‘(a。)=o，并且f0(勺>a0，有 (a)JO，J，，…，寿一:C(入，1{是两两不交的; 间允肠。:。10、大是同胚，对每个乞=O，1，…，p一2; (c)a是区间寿一:的端点; (4)方程君一‘(x)二入二有惟一的解x=1. 那么存在惟一的非单谷的F一映射f满足.厂…协，1]=f0.反之，如果f0是非单谷的F一映射在巨。l]上的限制，那么f0必满足(l)一(4). 二、设f是3阶非单谷的F一映射，f(a)=。.记fl=f1队a]，儿=月[a.l]如果存在正数对>2，使得万兰}六}<+oc。1兰几<+二(在端点处考虑其左或右导数)，那么 (l)f的拟极限集A(f)=E是f的极小集合.(2)S三dim，E兰 2 、…，(inf 畏甄)x任I艺，其中…(方，(入x))’{)“=1=艺(sup{(方‘(入x))‘…)‘·z二Ox任I 三、设f是4阶非单谷的F一映射，且f(a)=(在端点处考虑其左或右导数)，且.八l)<a.存在并且是f的极小集合. 四、设f是4阶非单谷的F一映射，j(a):0.若川队司<一1，./’I!。，1{那么f的拟极限集州f)>二E。.记f，=月队a]，.儿二八。，1}中文摘要如果存在正数M>3，使得M三试}<+oc，1兰几<+二(在端点处考虑其左或右导数)，且烈l)>，那么f的拟极限集州f)=E存在并且是f的极小集合. 五、设fl，九是两个任意的4阶单谷的(非单谷的)F一映射.记入:二片(0)，川。，卜。且满足fz!f协、，。:]<一1，川[a:，11全1，这里2二1，2.则有:(l)当fl，九为同一类型时，f:与儿限制在非游荡集上拓扑共扼;(2)当fl，几为不同类型时，f:与儿限制在非游荡集上不拓扑共扼.

全文目录

绪论  5-12
第一章基本概念和结果  12-22
  1.1 动力系统  12-16
  1.2 符号空间  16-18
  1.3 分形  18-22
第二章 F-映射  22-30
  2.1 背景与定义  22-24
  2.2 性质  24-27
  2.3 存在性  27-30
第三章 3阶F-映射的拟极限集  30-39
  3.1 引言与引理  30-31
  3.2 存在性  31-36
  3.3 例子  36-39
第四章 4阶F-映射  39-60
  4.1 定义与引理  39-41
  4.2 Ⅰ型  41-46
  4.3 Ⅱ型  46-47
  4.4 共轭性  47-57
  4.5 例子  57-60
参考文献  60-65
攻博期间发表的学术论文  65-66
中文摘要  66-70
英文摘要  70-74
致谢  74-75

F-映射的研究

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