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自相似集的Hausdorff维数与测度及其计算机实现

作　者: 王艳
导　师: 许绍元
学　校: 淮北师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 自相似集 Hausdorff测度 Hausdorff维数雪花地毯
分类号: O174.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 41次
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内容摘要

分形几何是曼德勃罗特(B.B.Mandelbrot)在20世纪80年代创立的,它提供了研究不规则几何对象的思想,方法与技巧.由于不规则集比经典几何能更好的描述自然现象,近年来,分形几何这一新兴学科被广泛应用在数学、物理、化学、生物、工程技术等学科中,它解决了各学科中出现的大量不规则几何对象问题,因而获得巨大成功.同时,不同学科中提出的大量问题也刺激了分形几何的深入发展.分形几何的创立与发展对整个科学的发展具有极为重要的意义.众所周知,Hausdorff测度与维数理论是分形几何的理论基础,Hausdorff测度与维数的理论研究具有重要的理论与应用价值.分形集的Hausdorff测度与维数的计算与估计是比较困难的.至今为止,研究最多的一类分形是满足开集条件(open set condition)的自相似集,其Hausdorff维数的计算与估计已有确定的公式.但就测度来说,仅几种特殊且维数不大于1的自相似集的测度被确定,对于维数大于1的自相似集,目前已有的结果还很少,只是估计了少数分形集的测度的上下界.本文共由四部分内容构成.第一部分绪论简要介绍了分形几何的研究现状和研究意义,叙述了本文的主要研究内容和结果.第二部分主要是给出本文用到的基本概念和理论.首先给出Hausdorff测度和维数概念和性质.接着引入了自相似压缩系统、自相似集和开集条件,并给出满足开集条件的自相似集的Hausdorff维数的一个等价定义.本文的第三部分主要研究了直线上的几类满足开集条件的自相似集.作为对比,首先给出经典三分康托集的构造、测度和维数.然后构造了几类广义康托集并进行初步研究,给出它们满足的自相似压缩系统及维数满足的公式.接着对一类特殊的广义康托集进行深入研究,得到了维数和测度.本文的第四部分主要研究了平面上的几类满足开集条件的自相似集.首先构造了两类广义五角地毯,给出它们满足的自相似压缩系统及维数满足的公式.然后构造了两类广义六角地毯,并给出它们满足的自相似压缩系统及维数满足的公式.接着对一类特殊的六角地毯—雪花地毯进行深入研究,计算出维数并对它的Hausdorff测度上限进行了估计,最后讨论了如何使用计算机来实现它的上限估计.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-9
第一章绪论  9-13
  1.1 课题的发展现状与研究意义  9-11
  1.2 研究的内容和主要结果  11-13
第二章预备知识  13-20
  2.1 Hausdorff 测度与维数及其性质  13-16
  2.2 满足开集条件的自相似集  16-20
第三章关于广义康托集的研究  20-28
  3.1 几种广义 Cantor 集的构造和初步研究  20-23
  3.2 一类广义康托集的Hausdorff 测度与维数  23-28
第四章关于几类广义地毯的研究  28-50
  4.1 正五边形生成的广义地毯的初步研究  28-31
  4.2 正六边形生成的广义地毯的初步研究  31-34
  4.3 一类特殊的雪花地毯的测度估计及其计算机实现  34-50
参考文献  50-52
攻读硕士学位期间发表和完成的论文  52-53
致谢  53

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