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一类完全耦合的带反射的正倒向随机微分方程的解

作　者: 刘军波
导　师: 李娟
学　校: 山东大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 随机微分方程倒向随机微分方程正倒向随机微分方程反射倒向随机微分方程粘性解
分类号: O211.63
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

本文主要研究一类特殊的完全耦合的带反射的正倒向随机微分方程(简记RFBSDE)解的存在唯一性,以及此类方程与一类拟线性抛物型偏微分方程(简记PDE)的关系。形如的方程由Pardoux和Peng于1990年在[38]中首先介绍的,被称为倒向随机微分方程(简记BSDE),他们证明了系数满足Lipschitz条件时非线性BSDE解的存在唯一性,此后,BSDE成为一个迅速发展的研究方向,这一理论广泛应用于金融数学、随机最优控制及偏微分方程等领域。1997年,El Karoui, Kapoudjian, Pardoux, Peng和Quenez等人在[25]中首次提出了带反射的倒向随机微分方程(简记RBSDE)的概念,也就是说,BSDE中有一个增过程K,K产生一个向上的“推力”,使得方程的解恰好始终位于一给定连续随机过程(称为障碍)的上方,且“推力”最小,方程形式为：同样,在Lipschtiz条件下他们证明了解的存在唯一性及相应的比较定理,且在Markovian框架下,证明了解耦情况下RBSDE的解可表示为一类偏微分方程(简记PDE)障碍问题的粘性解。同时,正倒向随机微分方程(简记FBSDE)的研究也出现了大量文章,1993年,Antonelli在[1]中研究了完全耦合的FBSDE,并给出当区间T足够小时,FBSDE的解具有存在唯一性。在此类方程系数是确定性的并且光滑以及非退化扩散项的情况下,1994年,Ma, Protter和Yong在[33]中详细介绍了称作“四步方法”的证明存在唯一性的方法。在没有正向随机微分方程扩散系数非退化条件的假设下,1995年,Hu和Peng在[13]中证明了X和Y在同维情况下,当系数满足一般Lipschitz条件和特定单调性条件时,FBSDE的解是存在唯一的。1999年,Wu和Peng[41]得到了X和Y不同维情况且减弱这个特定的单调性条件时FBSDE解的存在唯一性。1997年,Antonelli和Hamadene在[2]中给出连续系数条件下一类特殊形式的完全耦合FBSDE解的存在性结果,方程形式为：通过构造两个递增序列分别对正向与倒向方程的解进行逼近；2008年,Huang在[20]中用类似的方法得到连续系数条件下带反射的FBSDE解的存在性,她所研究的方程形式如下：迄今为止,由于问题的复杂性,尚未有人得到此类方程解的唯一性结论,在本文中,我们研究了一种特殊情况下的唯一性条件,为进一步研究RFBSDE与偏微分方程障碍问题粘性解的联系,我们需考虑障碍过程为h[t, Xt)型的情况,因此本文研究的障碍Lt:= h(t, Xt)与正向方程的解相关联,研究方程的形式为：我们将采用与Antonelli, Hamadene和Huang相似的方法构造两个单调序列分别对SDE以及RBSDE的解进行逼近来研究上述方程解的存在性定理,其中,假设h,Ψ满足：(i)h,Ψ关于x为线性增长的增函数；(ⅱ)|h(s,x1)－h(x2)|≤M|x1－x2|,对所有s∈[0,T],ω∈Ω,以及x1.x2∈R；此后,我们给出拟单调性条件：对(?)t∈[0,T],x1,x2,y1,y2,z1,z2∈R,满足：(B1)存在常数C1>0,s.t.(B2)存在常数C2>0,s.t.研究了一类特殊形式RFBSDE的唯一性定理和相应的比较定理最后,我们应用反证法证明RFBSDE的解Yt,xt是一类拟线性抛物型PDE的粘性解u(t,x).本文共分为五章：第一章：引言；第二章：预备知识,将简述本文在证明过程中所应用到的SDE,BSDE及FBSDE中的许多定理；第三章：一类完全耦合带反射正倒向随机微分方程解的情况,是本篇文章的主要部分,本章分为三部分：第一部分应用类似Antonelli, Hamadene和Huang的方法证明方程解的存在性；第二部分给出在拟单调性条件下,证明了一类特殊形式的RFBSDE解的唯一性；第三部分说明相应的比较定理；第四章：RFBSDE与相应偏微分方程粘性解的联系；第五章：总结以及进一步研究内容。

全文目录

中文摘要  6-10
英文摘要  10-14
第1章引言  14-24
  1.1 常用的符号  14
  1.2 BSDE的发展历程  14-19
  1.3 主要应用  19-24
第2章预备知识  24-28
第3章一类完全耦合的带反射的正倒向随机微分方程的解  28-46
  3.1 RFBSDE解的存在性  28-40
  3.2 RFBSDE解的唯一性  40-43
  3.3 RFBSDE的比较定理  43-46
第4章带反射的正倒向随机微分方程与相应PDE的粘性解  46-55
  4.1 预备知识  47-48
  4.2 粘性解的存在性  48-55
第5章总结与进一步研究方向  55-57
参考文献  57-63
作者简介  63-64
致谢  64-65
学位论文评阅及答辩情况表  65

一类完全耦合的带反射的正倒向随机微分方程的解

内容摘要

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