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图的电阻距离法则和Kirchhoff指标研究

作　者: 杨玉军
导　师: 张和平
学　校: 兰州大学
专　业: 应用数学
关键词: 电阻距离 Kirchhoff指标 Wiener指标 Laplacian谱 Nordhaus-Gaddum型结论 线性六角形链 简化原理
分类号: O157.5
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要


连通图G的两个顶点i和j之间的电阻距离rij定义为用单位电阻来代替G中的每条边后相应构造出的电网络N中节点i和j之间的有效电阻.图G的Kirchhoff指标Kf（G）定义为G中所有点对之间的电阻距离之和.本文主要研究图的电阻距离和Kirchhoff指标.我们建立了关于电阻距离的一些法则,得到了线性六角形链和三种类型的合成图的Kirchhoff指标计算公式,确定了单圈图和Fullerene图的Kirchhoff指标的界,给出了Kirchhoff指标的一个新的Nordhaus-Gaddum型结论.全文共分七章.在第一章中,我们首先介绍了本文所需要的基本概念,术语和记号,然后指出本文所研究问题的物理化学背景,进而综述了该领域的研究进展和本文所得到的主要结论.受Klein的文章[Croat.Chem.Acta 75（2002）633-649]的启发,在第二章中,我们得到了图G的电阻距离的一些法则.设S是图的顶点集的子集,满足S中的所有点在G—S中有相同的邻集N.若|S|=2,3,4,应用这些法则,对应于G|S|的不同情况,我们给出了S中任意两点的电阻距离的简单计算公式,并且这些公式都可以用N的大小表示出来,这表明S中任意两点的电阻距离只依赖于G|S|和N的大小.自然地,一个问题就产生了:是不是当S包含任意多的顶点时这个性质也成立?对这个问题,我们给出了肯定的回答,也就是,我们得到了下面的简化原理:如果S（?）V满足S中的所有顶点在G-S中有相同的邻集N,则S中任意两点之间的电阻距离就等于在G[S∪N]中删除所有连接N中顶点之间的边后所得子图中这两点之间的电阻距离.在第三章中,首先我们根据Laplacian多项式分解定理得到线性六角形链Ln的Laplacian谱由路P2n+1的Laplacian谱以及一个2n+1阶三对角对称矩阵的所有特征值构成.接着,利用前面所说矩阵的特征多项式的根与系数的关系,我们得到了Ln的根据Laplacian谱得到的Kirchhoff指标的显式计算公式.有趣的是,Ln的Kichhhoff指标渐近于他的Wiener指标的一半.最后,对包含Ln的一类图,我们证明了对这类图中的每个图G都有Kf（G）/W（G）＞1/5成立,其中W（G）表示图G的Wiener指标.设Snl是在圈Cl上的任意一个点上加n—l条悬挂边所构成的图.用Pnl表示将圈Cl的任意一个点和路Pn-1+1的一个端点粘接所构成的图.在第四章中,我们得到在所有顶点数为n的单圈图中,（ⅰ）若n＜8,则Cn达到最小的Kirchhoff指标;若8≤n＜12,则Sn4达到最小的Kirchhoff指标;若n=12,Sn3和Sn4同时达到最小的Kirchhoff指标;否则,Sn3达到最小的Kirchhoff指标;（ⅱ）Pn3达到最大的Kirchhoff指标.进而我们给出了单圈图的Kirchhoff指标的紧界.一个Fullerene图F是一个三连通,三正则平面图,它恰有12个五边形面,其它的面都是六边形.在第五章中,我们得到了平面图,特别是Fullerene图的Kirchhoff指标的界.令G1+G2,G1oG2和G1{G2}分别表示图G1和G2的联,冠和簇.在第六章中,我们得到了这些合成图的Kirchhoff指标计算公式.一个Nordhaus-Gaddum型的结论是指一个图和它的补图的某个参数的和或者乘积的（紧的）上界和下界.在最近文献[Chem.Phys.Lett.455（2008）120-123]中,周波和Trinajisti（?）给出了Kirchhoff指标的一个Nordhaus-Gaddum型结论.在第七章中,我们给出了Kirchhoff指标的一个新的Nordhaus-Gaddum型结论,改进了前者的工作.

全文目录


摘要  4-6
ABSTRACT  6-11
第一章 引言  11-39
  1.1 基本概念和记号  11-16
  1.2 问题的研究背景  16-17
  1.3 研究进展  17-28
    1.3.1 一般计算公式  17-20
    1.3.2 局部计算公式  20-21
    1.3.3 特殊图的电阻距离和Kirchhoff指标计算公式  21-22
    1.3.4 关于电阻距离的一些法则  22-24
    1.3.5 电阻距离矩阵  24
    1.3.6 电阻距离和图上的随机游动  24-25
    1.3.7 图的Kirchhoff指标的界  25-28
    1.3.8 其他方面的结果  28
  1.4 本文主要结果  28-39
    1.4.1 电阻距离的一些法则及其应用  28-33
    1.4.2 线性六角形链的Kirchhoff指标  33
    1.4.3 单圈图的Kirchhoff指标极值  33-34
    1.4.4 Fullerene图的Kirchhoff指标的界  34
    1.4.5 合成图的Kirchhoff指标  34-36
    1.4.6 Kirchhoff指标的Nordhaus-Gaddum型结论  36-39
第二章 电阻距离的一些法则及其应用  39-55
  2.1 引言  39-41
  2.2 一般法则  41-43
  2.3 其他法则及其应用  43-50
    2.3.1 两个顶点的情形  43-44
    2.3.2 三个顶点的情形  44-46
    2.3.3 四个顶点的情形  46-50
  2.4 简化原理  50-54
  2.5 结束语  54-55
第三章 线性六角形链的Kirchhoff指标  55-71
  3.1 引言  55-56
  3.2 Laplacian多项式分解  56-57
  3.3 线性六角形链的Kirchhoff指标  57-67
  3.4 进一步推广  67-71
第四章 单圈图的Kirchhoff指标极值  71-83
  4.1 引言  71-73
  4.2 单圈图的Kirchhoff指标  73-74
  4.3 (?)(n,l)的Kirchhoff指标的界  74-77
  4.4 达到极值Kirchhoff指标的单圈图  77-80
  4.5 后续工作及展望  80-83
第五章 Fullerene图的Kirchhoff指标的界  83-93
  5.1 引言  83-84
  5.2 平面图的Kirchhoff指标的界  84-87
  5.3 Fullerene图的Kirchhoff指标的界  87-92
  5.4 结束语  92-93
第六章 合成图的Kirchhoff指标  93-107
  6.1 引言  93-94
  6.2 主要结果  94-106
    6.2.1 G_1+G_2的Kirchhoff指标  95-97
    6.2.2 G_1 o G_2的Kirchhoff指标  97-102
    6.2.3 G_1{G_2}的Kirchhoff指标  102-103
    6.2.4 其他结果  103-104
    6.2.5 一些例子  104-106
  6.3 结束语  106-107
第七章 Kirchhoff指标的Nordhaus-Gaddum型结论  107-115
  7.1 引言  107-108
  7.2 预备知识  108-110
  7.3 主要结果  110-113
  7.4 一个猜想  113
  7.5 结束语  113-115
参考文献  115-123
在读期间完成的主要论文  123-125
致谢  125

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