学位论文 > 优秀研究生学位论文题录展示

哈密顿—雅克比方程的有效哈密顿函数

作　者: 乔元波
导　师: 朴大雄
学　校: 中国海洋大学
专　业: 应用数学
关键词: Hamilton-Jacobi方程有效Hamiltonian函数粘性解弱KAM理论 Aubry-Mather理论
分类号: O174
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 36次
引　用: 0次
阅　读: 论文下载

内容摘要

本文考虑Hamilton-Jacobi方程H(x,P+Du)=λ的与有效Hamilton函数相关的一系列问题。Lions, Papanicolaou和Varadhan首先证明了存在唯一的实数λ∈R使得Hamilton-Jacobi方程存在全局粘性解,记此唯一的与P有关的实数λ∈R为H(P),称为有效Hamilton函数。有效Hamilton函数有着十分明确的物理意义：它表征了量子本征态所对应的能量值。并且它在Hamilton-Jacobi方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为等的研究中都起着非常重要的作用,与弱KAM理论、Aubry-Mather理论等也有着十分密切的联系。第一章首先介绍这一方面研究进展,既包括理论上的推广,也包括数值计算和应用方面的进展。然后给出必要的预备知识。第二章首先给出Lions, Papanicolaou和Varadhan等人的原始证明,然后给出一个新的关于有效Hamilton函数存在唯一性的几何方法的证明。这种方法不仅可以证明有效Hamilton函数的存在唯一性,而且由此出发还可以讨论有效Hamilton函数的一些性质以及建立它与Aubry-Mather理论的密切联系。第三章将对有效Hamilton函数进行刻画。首先是它的一些等价表示,这是由有效Hamilton函数的存在唯一性的几何证明出发而得到的关于H(P)的一些表达式,它们表征了有效Hamilton函数的一些极限特性。还有H(P)的两个变分表示,它们是后面数值计算的理论基础。之后讨论了有效Hamilton函数的一些基本性质,它们反映了H(P)的性质与Hamilton函数H的性质之间的密切关系。第四章讨论有效Hamilton函数的计算问题。首先对于一些具体的Hamilton函数给出相应的有效Hamilton函数的解析表达式。由于一般而言只有对于特殊的Hamilton函数才能得到有效Hamilton函数的解析表达式,所以接下来讨论了相应的数值计算问题。数值计算的方法又分为两类：偏微分方程方法和变分方法,对每一类方法都进行了简单的分析讨论。第五章给出有效Hamilton函数的一些应用。首先说明有效Hamilton函数的物理意义：它表征了本征态所对应的能量值,接着给出它在Hamilton-Jacobi方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为等的研究中的应用,最后指出了有效Hamilton函数与弱KAM理论、Aubry-Mather理论的密切联系。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-11
第1章引言及预备知识  11-19
  1.1 引言  11-12
  1.2 综述  12-16
  1.3 预备知识  16-19
第2章有效Hamilton函数的存在唯一性  19-25
  2.1 有效Hamilton函数的存在唯一性的证明  19-20
  2.2 有效Hamilton函数的存在唯一性的一个几何证明  20-25
第3章有效Hamilton函数的刻画  25-31
  3.1 有效Hamilton函数的等价表示  25-27
  3.2 有效Hamilton函数的基本性质  27-31
第4章有效Hamilton函数的计算  31-37
  4.1 有效Hamilton函数计算的例子  31-34
  4.2 有效Hamilton函数的数值计算  34-37
    4.2.1 数值计算的偏微分方程方法  34
    4.2.2 数值计算的变分方法  34-37
第5章有效Hamilton函数的应用  37-43
  5.1 有效Hamilton函数的物理意义  37
  5.2 有效Hamilton函数的线性规划解释  37-38
  5.3 有效Hamilton函数在均匀化理论中的应用  38-39
  5.4 有效Hamilton函数在解的长时间渐近行为研究中的应用  39-40
  5.5 有效Hamilton函数与弱KAM理论的关系  40-41
  5.6 有效Hamilton函数与Aubry-Mather理论的关系  41-43
参考文献  43-47
致谢  47-48
个人简历、攻读硕士学位期间完成的文章  48

哈密顿—雅克比方程的有效哈密顿函数

内容摘要

全文目录

相似论文