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非线性偏微分方程的几类求解方法

作　者: 唐晓芬
导　师: 蔡国梁
学　校: 江苏大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性偏微分方程齐次平衡原则辅助方程方法广义扩展的F-展开法改进的双曲正切函数法精确解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

在齐次平衡原则的思想下,充分利用F-展开法、双曲正切函数法和Riccati方程在非线性偏微分方程(NLPDES)求解中的优良特性,提出一种广义扩展的F-展开法和改进的双曲正切函数法。此方法在借助于计算机符号系统Mathematica下,操作方便,可以得到NLPDES的一系列精确解如周期波解、类孤子解、三角函数解、有理函数解、复数形式解,扭曲状解等。并利用广义扩展的F-展开法求解了非线性色散耗散mKdV方程,利用改进的双曲正切函数法求解了(3+1)维Burgers方程,得到了它们类型丰富的精确解,其中部分是新解。文中对部分解进行了数值模拟以便直观分析。首先,在齐次平衡思想的基础上利用改进的辅助方程方法求解Klein-Gordon方程,得到了更多丰富类型的Klein-Gordon方程的行波解如类孤子解,三角函数周期解,有理数解,指数解。其次,利用广义扩展的F-展开法研究了非线性色散耗散mKdV方程,得到了非线性色散耗散mKdV方程的周期波解、类孤子解、三角函数解、有理函数解、复数形式解等。这些解对于解释一些物理现象具有一定的意义。最后,利用改进的双曲正切函数法研究了(3+1)维Burgers方程,得到了他们类型丰富的精确解:光滑的钟形孤立波解,kink解,类孤子解,复数形式解,有理数解等,并得到了部分新解。这对于对非线性偏微分方程的进一步研究具有积极的意义。

全文目录

摘要  6-7
ABSTRACT  7-10
第一章绪论  10-16
  1.1 研究背景  10-13
  1.2 研究现状  13-14
  1.3 研究的内容和意义  14-16
第二章基本概念  16-25
  2.1 孤立子及尖峰孤立子  16-17
  2.2 孤立子的分类  17-18
  2.3 逆算符法  18-19
  2.4 齐次平衡法  19-20
  2.5 JACOBI椭圆函数方法  20-21
  2.6 辅助方程方法  21-22
  2.7 F-展开法  22-23
  2.8 双曲正切函数展开法法  23-25
第三章改进的辅助方程方法求解KLEIN-GORDON方程  25-31
  3.1 改进的辅助方程方法  25-26
  3.2 求解KLEIN-GORDON方程  26-31
    3.2.1 KLEIN-GORDON方程的类孤子解  27-28
    3.2.2 KLEIN-GORDON方程的三角函数解  28-29
    3.2.3 KLEIN-GORDON方程的指数解  29
    3.2.4 KLEIN-GORDON方程的有理函数解  29-31
第四章求解偏微分方程的一种广义扩展的F-展开法  31-41
  4.1 广义扩展的F-展开法  31-33
  4.2 非线性色散耗散MKDV方程  33-34
  4.3 求解非线性色散耗散MKDV方程  34-41
第五章改进的双曲正切函数展开法  41-51
  5.1 改进的双曲正切函数展开法  41-42
  5.2 求解(3+1)维BURGERS方程  42-51
第六章结束语  51-52
参考文献  52-55
攻读硕士期间发表的论文  55

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