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非线性偏微分方程的求解及解法研究

作　者: 李俊焕
导　师: 郑一
学　校: 青岛理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性偏微分方程齐次平衡法 F-展开法 Jacobi椭圆函数孤立波解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 69次
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内容摘要

本文主要是针对一些具有重要物理背景的非线性偏微分方程,根据现有的孤立子理论和方法,如齐次平衡法、函数变换法、指数函数展开法、双曲正切函数法、修正的Jacobi椭圆函数展开法等,在已有工作的基础上根据数学机械化思想,利用符号计算系统Mathematica,求得了这些方程的大量新孤立波解及其它形式的精确解.第一章绪论介绍了非线性偏微分方程求解的发展状况,包括对非线性偏微分方程概念的引入和在构造偏微分方程精确解方面前人所获得的成果.第二章介绍了孤立子的概况和研究孤立子的现实意义,列举了几种常见的孤立子类型,以三维和平面图形做了对比,归纳了大量被人们广泛研究的不同类型的偏微分方程.第三章给出了行波解的定义,首先求得了Burgers方程和复合KdV方程的Tanh形式解,而后介绍了经典KdV方程的起源并对其进行了详细的行波求解.最后在针对KP方程求解时,运用了辅助Riccati方程求解法.第四章是本论文的重点,给出了拟解定义,详细地介绍了齐次平衡法的步骤,运用该法对KdV-Burgers方程进行了求解;利用新的函数变换对变系数KdV方程进行了求解,并运用Mathematica绘制出了解的图像;利用F-展开法对耦合的KdV方程组进行了求解,得到了包括椭圆函数、三角函数、双曲函数、幂函数形式的各类精确解.第五章主要对本文所做的工作进行了总结,重点是对课题下一步的研究指出了新的方向.目前,在实际应用和理论两方面已对孤立波作了大量研究,运用不同的方法对偏微分方程进行求解逐渐成为了人们研究的重要课题.本文也正是基于此目的,在归纳和总结各种非线性偏微分方程求解的基础上,对部分具有典型物理意义的方程进行了较为系统和深入的研究,得到了许多新的结果,主要结果包括:(1)利用软件Mathematica模拟出了不同类型孤子的图形和很多方程精确解的图形;(2)运用不同的方法对不同的方程进行求解,得到了许多新的精确解,丰富和发展了非线性偏微分方程解法研究的内容.

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-9
第1章绪论  9-12
  1.1 非线性偏微分方程求解的发展概况  9-11
  1.2 本课题的研究意义和目的  11-12
第2章孤立子概述和非线性偏微分方程总结  12-26
  2.1 孤立子理论概况和研究意义  12-13
  2.2 孤立子类型与其常用非线性偏微分方程  13-26
    2.2.1 孤立子的类型与图形模拟  13-20
    2.2.2 非线性偏微分方程的常见类型  20-26
第3章行波解  26-36
  3.1 复合KdV 方程和Burgers 方程的行波解  26-30
    3.1.1 复合KdV 方程的Tanh 形式解  26-28
    3.1.2 Burgers 方程的 Tanh 形式解  28-30
  3.2 KdV 方程和KP 方程的行波解  30-36
    3.2.1 指数函数法求解KdV 方程  30-33
    3.2.2 Riccati 辅助方程求解(2+1)维KP 方程  33-36
第4章一些非线性偏微分方程的求解及解法  36-59
  4.1 齐次平衡法及其应用  36-39
  4.2 变系数广义 KdV 方程的精确类孤子解  39-45
  4.3 Jacobi 椭圆函数法求 Gardner 方程的新周期解  45-49
  4.4 F-展开法在耦合KdV 方程组中的应用  49-59
第5章结论与展望  59-61
参考文献  61-66
攻读硕士学位期间发表的学术论文及科研工作  66-67
  1.攻读硕士学位期间的科研工作  66
  2.攻读硕士学位期间发表的学术论文  66-67
致谢  67

非线性偏微分方程的求解及解法研究

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