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解析函数的Cantor边界性质和函数空间的复合型算子

作　者: 刘竟成
导　师: 董新汉
学　校: 湖南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 解析函数 Cantor边界性质 Cantor型集 Lacunary级数 Weierstrass函数零点 pre-Schwarzian导数小Bloch型空间 Dirichlet型空间加权复合算子乘子有界性紧性
分类号: O174.56
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

用D={z：|z|<1}表示单位圆盘,C∞表示扩充复平面.设f(z)在D内解析且连续到边界(?)D,则f((?)D)是局部连通的紧集.设C∞、f((?)D)=Uj≥0 Wj为连通分支分解,则Wj单连通且具有局部连通的边界.如果都是Cantor型集合,即(?)D中的无处稠密集.我们就说f(z)在D内具有Cantor边界性质.其中Wj是满足f(D)(?)Wj≠(?)的任何连通分支.本文的前半部分主要研究单位圆盘D内解析函数的Cantor边界性质及相关问题,后半部分主要研究Cn上几个全纯函数空间之间的复合型算子.全文由六章组成.在第一章,我们对解析函数的Cantor边界性质、复合型算子的有界性以及紧性问题的背景与现状进行了综述,并列出了论文的主要结果.在第二章,我们对Cantor型集C=f-1((?)f(D))的测度进行研究,得到了一维Lebesgue测度|C|>0的一个充分条件：f(z)具有Cantor边界性质且f′(z)属于H1,则|C|>0.然后根据这一结论构造出了一些满足|C|>0的例子.在第三章,我们考虑复Weierstrass函数这里λ>1,0<β<1,则f(z)在D={z：|z|<1}内解析且在D上连续,当λ不为整数时,我们取D={z：|z|<1}＼[0,1)且zλn取D内的主值分支.我们首先给出局部Cantor边界性质的定义,然后证明复Weierstrass函数f(z)在L={eiθ:0<v<2π}上具有局部Cantor边界性质.在这一章,我们还考虑Hadamard缺项级数我们证明了：如果且则g(z)在D内具有Cantor边界性质.在第四章,利用pre-Schwarzian导数与单叶函数的关系,我们建立了解析函数具有Cantor边界性质的一个充分条件,同时给出了相应的例子.在第五章,我们研究单位球B上小Bloch型空间之间的加权复合算子,得到了Cn中单位球上小Bloch型空间β0p到β0q的加权复合算子Tψ,φ为有界算子或紧算子的充要条件.在第六章,我们研究单位球B上Dirichlet型空间Dαp上的Carleson测度和乘子问题.对0<p≤q<∞,我们首先得到了B上正的Borel测度μ使得Dαp(?)Lq(dμ)的充要条件,然后应用所得结论给出了Dαp到Dβq的乘子为有界算子的充要条件.

全文目录

中文摘要  3-5
英文摘要  5-9
1.绪论  9-23
  1.1 引言  9-13
  1.2 本文主要结论  13-23
2.Cantor集的测度研究  23-37
  2.1 引言  23-24
  2.2 主要结论  24-28
  2.3 Cantor集测度大于零的例子  28-37
3.复Weierstrass函数的局部Cantor边界性质  37-49
  3.1 引言  37-39
  3.2 复Weierstrass函数  39-45
  3.3 Hadamard缺项级数  45-49
4.局部单叶函数的Cantor边界性质  49-55
  4.1 引言  49-50
  4.2 一个充分条件  50-51
  4.3 例子  51-55
5.单位球上小Bloch型空间之间的加权复合算子  55-75
  5.1 引言  55-56
  5.2 一些引理  56-61
  5.3 有界性条件讨论  61-67
  5.4 紧性条件讨论  67-75
6.Dirichlet型空间的Carleson测度和乘子  75-89
  6.1 引言  75-76
  6.2 有关引理及证明  76-81
  6.3 Carleson测度  81-85
  6.4 乘子  85-89
参考文献  89-95
硕博连读期间发表的学术论文  95-97
致谢  97-99

解析函数的Cantor边界性质和函数空间的复合型算子

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