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饱和非线性广义Schr（？）dinger方程的行波解定性与分叉研究

作　者: 吴红颖
导　师: 赵晓华
学　校: 浙江师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 广义非线性Schr(o ¨)dinger方程分支理论行波解孤立波周期波饱和非线性
分类号: O175.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

随着社会进步和科学研究的不断深入,在工程实际和自然科学各分支学科甚至社会科学领域涌现出大量非线性数学模型,等待各学科的科学工作者去研究。与线性问题不同的是,非线性问题在一般情况下很难求得精确解,非线性Schr6dinger方程就是最典型的例子。这类方程在流体力学、等离子物理、蛋白质化学、生物学以及工程科学中广泛存在,对其各种解的性质的深入研究和认识具有重要的理论意义现实的工程实用价值。在对非线性Schrodinger方程的理论研究中,包括孤立波在内的各类有限行波解的研究是一个非常重要的研究课题。出现了大量研究成果和求解方法和技巧,其中包括反射法、Darboux变换法、Hirota双线性法、tanh法等。这些方法的基本想法就在于通过各种变换技巧将方程化为相对易于求解的形式,特别在某些特定情况下求出方程的孤立子等特殊精确解,迄今国內外数学物理研究者利用这些方法已获得了大量研究成果。然而,这些方法除了确定一些特定情况下的精确解外,对方程的参数变化对其孤子解等特殊有限解存在性的影响却不能给出较完整的回答。国内外近年来的最新研究表明,微分方程定性理论和动力系统分叉理论可以弥补上述求精确解方法在这方面的不足,甚至可以用动力系统的观点对某些已知精确解提供更深刻的认识。基于上述,本文利用微分方程定性理论与动力系统分叉理论（特别是Hamilton系统相图分析技巧）,研究如下具有饱和非线性特性的广义Schrodinger方程的各类行波解随参数的分叉性质:其中,g（I）是一个非Kerr型非线性实值函数,反映物理问题的饱和型非线性特性:其中a＞0是物理参数,在光学孤子模型中,它表示最大光线强度I_max与饱和光线强度I_sat的比值,即a=I_max/I_sat.p＞0称为饱和指标参数。上述模型中当p=1或p=2时,文献[26,27]已证它存在亮孤子和暗孤子等局域解,并求出了相应精确解的解析式。但对更一般的p值情况如何呢?虽然已有文献指出p＞2时也存在上述孤子解,但据我所知,还未见深入系统的研究结果。本文运用微分方程定性理论和动力系统分支理论,特别是平面Hamilton系统相图分析技巧,在一般饱和指标参数条件p＞0下,完整地研究了上述广义Schrodinger方程的各类行波解随参数变化的分叉性质,获得了相应的四维参数空间（a,p,波速v及光背景强度q）的分叉条件。本文的研究结果表明,p＞2对应的饱和非线性模型在一定参数条件下可以出现包括p＜=2时的孤子解在内的多种形式的孤子解和周期波解,有些孤子解是p＜=2时不存在的。

全文目录

摘要  2-4
Abstract  4-7
目录  7-8
一、绪论  8-13
  (一)、关于行波解与孤立波  8-9
  (二)、非线性偏微分方程求解的几种常见方法  9-12
  (三)、论文结构与主要成果  12-13
二、饱和非线性Schrodinger方程的行波解  13-46
  (一)、非Kerr型非线性孤子方程的若干模型  13-17
  (二)、饱和非线性NLSE行波方程的定性分析  17-39
    2.1、行波方程的平衡点分叉  19-28
    2.2、平衡点类型与相图分析  28-39
      2.2.1、p≤2  32-33
      2.2.2、p>2  33-39
  (三)、饱和非线性条件下的各类行波解  39-43
  (四)、几类典型行波解的波形图  43-46
三、小结  46-47
参考文献  47-50
致谢  50-51
在学期间的研究成果及发表的论文  51-53
学位论文诚信承诺书  53

饱和非线性广义Schr（？）dinger方程的行波解定性与分叉研究

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