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四阶Schr（?）dinger方程的适定性及散射理论

作　者: 郑继强
导　师: 苗长兴
学　校: 中国工程物理研究院
专　业: 基础数学
关键词: 四阶Schr(o ¨)dinger方程适定性 [k,Z]-乘子模 Strichartz估计散射理论
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

本文主要研究包含两个部分：第一部分采用Bourgain[6], Tao[12]中的扰动方法研究带combining项的四阶Schrodinger方程的散射理论;第二部分利用Tao[39]的[K;Z]-乘子模方法建立一类四阶Schrodinger方程的局部适定性.在第一章中,第一节以Schrodinger方程为例介绍散射理论的基本内容.第二节引入Bourgain空间的定义及它的一些基本性质,然后介绍在Bourgain空间下的一些线性估计.在第二章中,我们采用Bourgain[6], Tao[12]中的扰动方法研究带combining项的四阶Schrodinger方程的散射理论.四阶Schrodinger方程源于Karpman-Shagalov[19,20]对强激光束的研究.证明的主要思想如下：首先通过扰动理论得到方程的解具有“好的局部适定性”,即所得的局部解的存在区间只依赖于初值的Hx2模而不依赖于初值的其它性态.然后利用“好的局部适定性”结合对整体动能控制就可推出解的整体存在性.在非线性项均为非聚焦时,由相互作用的Morawetz估计[30,36]可以推出整体时空模的有界性从而得到散射；而在次临界项为聚焦且质量充分小的情况下,利用在质量充分小时可以保证次临界项在一定的范数下是小量,再通过扰动理论得到解的整体时空估计最终得到散射理论.在第三章中,我们首先通过标准的不动点理论把局部适定性问题归结为双线性估计；然后介绍Tao[39]的[K;Z]-乘子模理论的基本框架,并给出[K;Z]-乘子模一些基本性质；最后利用[K;Z]-乘子理论来证明双线性估计.

全文目录

摘要  6-7
Abstract  7-9
目录  9-11
第一章预备知识  11-17
  1.1 散射理论  11-13
  1.2 Bourgain空间  13-15
  1.3 基本记号  15-17
第二章四阶Schrodinger方程的散射理论  17-35
  2.1 引言  17-19
  2.2 基本估计  19-23
  2.3 定理2.1.1的证明  23-27
    2.3.1 局部理论  23
    2.3.2 动能控制  23-24
    2.3.3 好的局部适定性  24-27
  2.4 定理2.1.2的证明  27-35
    2.4.1 10  27-30
    2.4.2 1≤p0且质量充分小  30-32
    2.4.3 整体时空界推出渐进完备性  32-35
第三章四阶Schrodinger方程的局部适定性  35-57
  3.1 引言  35-38
    3.1.1 局部适定性的归结  36-38
  3.2 [k;Z]-乘子理论  38-47
  3.3 定理3.1.5-3.1.8的证明  47-54
    3.3.1 定理3.1.5的证明  47-49
    3.3.2 定理3.1.6的证明  49
    3.3.3 定理3.1.7的证明  49-50
    3.3.4 使得3.1.8保持最佳的例子  50-54
  3.4 假设的合理性  54-57
参考文献  57-61
攻读硕士学位期间发表论文  61-62
感谢  62

四阶Schr（?）dinger方程的适定性及散射理论

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