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双二项模型下的破产概率研究

作　者: 马翀
导　师: 杨善朝
学　校: 广西师范大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 破产概率随机模拟积分方程近似计算常利率
分类号: O211.67
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

风险模型理论, 是保险精算数学中重要的研究内容, 在国外已经有上百年的研究历史, 早在1986年, 北美精算学会出版的由Newton L. Bower, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cedil J. Nesbitt等五人编著的《精算数学》一书中就专门讨论过离散时间的保险风险模型(见[1]).众所周知, 经典离散风险模型的盈余模型为 (1.1)其中为时刻时的初始盈余, 为单位时间内常数率收取的保险费, 表示第次理陪量, 表示时期以前的总理赔次数, 表示保险公司在前个时期内的总理陪量. Gerber[2, 3]和Shiu[4]在80年代末期对这一经典模型做了大量研究.国内成世学, 伍彪[9], 朱仁栋[11]也对完全离散经典风险模型进行了深入探讨, 得到了最终破产概率、破产前一刻的盈余和破产赤字的概率律的递推解、变换解与显式解，还对任意的初始盈余值导出了最终破产概率的一个Lundberg型上界. 孙立娟，顾岚[10], 王黎明，金珩[27], 龚日朝, 李凤军[26, 28]等对经典风险模型进行了推广, 使保费收取次数为服从Possion分布的随机变量, 给出了破产概率公式和不等式. 杨善朝[12]在复合二项风险模型下得到了破产概率的近似计算. 吴荣, 杜勇宏[20], 孙立娟, 顾岚[21]则在经典模型的基础上卷入利率, 得到了该模型下的破产概率, 破产时余额分布以及破产前瞬间余额分布的级数展开式和积分方程.当保费收取次数和每一份保单收取的保险费均为随机变量时, 邹辉, 朱勇华[17]对个别理赔量和每份保单收取保费均服从指数分布的特殊情形证明了破产概率的不等式.此外, 孙立娟, 顾岚[10, 13]还在破产概率的随机模拟方面做了大量工作. <WP=4>本文主要在复合二项模型基础上进行推广使之成为双二项情形, 使保费收取是一个服从某一离散分布的随机变量: (1.2)其中把经典模型(1.1)中第二项的推广为, 它表示保险公司在时间内收取的保险单总数.为了证明需要文中做如下假设: (1)个别理赔量序列是独立同分布的正随机变量序列, 其中与同分布, 的分布函数为, (2)为总理赔次数过程, 对任意;(3)为保险单总数过程, 对任意, (4) , 是两个相互独立的二项过程, 且与相互独立;(5)为了保证保险公司能稳定经营, 要求.对该模型定义破产时间为, 则破产发生的概率定义为主要结论定理 3.2 对有且，其中为满足方程的调节系数. <WP=5>定理4.1 在模型的基本假设下, 对, 破产概率满足其中定理 5.1 记, 则在条件下, 有.定理 5.2 在条件下, 有，当时定理 6.2 令 <WP=6>则.定理 7.1 当索赔额为仅取正整数的随机变量时, 令;其余, 则保险公司最终破产概率为当为了让模型更具一般性, 对上述模型进一步推广, 假设保单到达时收取的保费不再为常数, 而是分布函数为且相互独立的随机变量序列, 并且, , 之间相互独立.得到如下主要结论:定理 8.3 对有且，其中为满足方程的调节系数.除以上定理外, 文中还多次利用Matlab软件对保单持有过程、破产频率等进行随机模拟以验证结论的合理性. 最后还就常利率情形得到了破产概率的Lundberg不等式.

双二项模型下的破产概率研究

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