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二阶拟线性各向异性退化抛物–双曲型方程的适定性研究

作　者: 郝兴文
导　师: 李亚纯
学　校: 上海交通大学
专　业: 应用数学
关键词: 退化抛物–双曲型方程 柯西问题 熵解 动力学解 适定性 误差估计 双变量方法 Kuznetsov误差估计
分类号: O175.27
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要


本文主要研究各向异性的退化抛物–双曲型方程柯西问题的适定性.这类方程可以用来描述许多现象,例如多孔介质中的对流–扩散过程,沉降–固化过程,生物在自然界中的扩散过程,金融决策等.由于这类方程在实际中具有广泛和重要的应用,许多数学家很早就对这个方程进行了研究,多数的工作主要是针对各向同性的情形,而且研究的解函数空间是BV空间.对于各向异性的情形,最早由Chen-Perthame [21]在L1空间中研究了系数不显含时间和空间变量情形的动力学解的适定性.本文是在他们成果的基础上,作了进一步的推广,主要对系数依赖于未知函数及时间变量的各向异性退化抛物–双曲型方程柯西问题解的存在唯一性作了讨论,主要包括下列内容:第一部分,我们介绍几个数学模型,主要包括多孔介质中污染物迁移的对流–弥散方程,非线性热传输方程,金融决策方程等.它们都可以用退化抛物–双曲型方程来描述.通过这几个模型,我们可以看到这个方程在实际应用中具有不同的表现形式,系数可以仅仅依赖于未知函数,也可以依赖于未知函数及自变量x或t.系数依赖于t的方程是我们要研究的重点.第二部分,我们用kuznetsov误差估计的方法证明了一个简单的退化抛物–双曲型方程柯西问题熵解的唯一性,通过对这个方程的研究,我们看清了Kuznetsov方法可行的关键之处在于引入了抛物耗散测度项,这是与双曲型方程的不同之处.证明的方法还可以应用到一般形式的退化抛物–双曲型方程中去.第三部分,我们研究系数显含时间t的退化抛物–双曲型方程柯西问题解的存在唯一性.我们用动力学方法证明了解的唯一性.为此,我们首先推导了一般形式的退化抛物–双曲型方程的动力学公式,给出了动力学解的定义.对于熵解,我们还证明了动力学公式与熵不等式的等价性,从而说明了动力学解属于L∞(Rn×R+)时与熵解是等价的.我们用粘性消去法证明解的存在性,给出了粘性方程的光滑解的先验估计,得到它在C([0,+∞);L1(Rn))中强收敛.利用该收敛性,可以证明该极限函数是动力学解或熵解.第四部分,我们研究熵解与相应的粘性方程的光滑解之间的误差估计,仍然采用了动力学方法,但是我们修正了上一章的动力学函数和动力学公式,应用这个公式可以计算出它们之间的误差是粘性系数的二分之一阶.在第五部分,我们将简要介绍在博士阶段的另一研究内容–流体力学中的相对论欧拉方程熵解的整体极限问题和一维线性化热粘弹性力学方程组解的逐点估计问题.

全文目录


摘要  5-7
ABSTRACT（英文摘要）  7-9
目录  9-11
第一章 绪论  11-25
  1.1 数学模型的描述  12-17
  1.2 研究现状  17-21
  1.3 主要研究内容与主要结果  21-25
第二章 一个简单模型熵解的唯一性  25-35
  2.1 数学模型及主要结果  25-26
  2.2 主要结果的证明  26-35
第三章 动力学解的适定性研究  35-88
  3.1 主要结果  35-37
  3.2 动力学公式及解的定义  37-50
  3.3 解的压缩性质  50-74
  3.4 解在初始时刻的连续性  74-79
  3.5 解的存在性  79-88
第四章 熵解的误差估计  88-104
  4.1 主要结果  88-89
  4.2 修正的动力学函数  89-94
  4.3 误差估计  94-104
第五章 其它适定性结果  104-121
  5.1 三维球对称相对论欧拉方程熵解的极限  104-114
  5.2 一维线性化热粘弹性力学方程组解的逐点估计  114-121
参考文献  121-131
致谢  131-132
攻读博士学位期间发表和完成的主要学术论文目录  132-135
上海交通大学学位论文答辩决议书  135

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 双曲型方程
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