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Cahn-Hilliard方程的有限元分析
作 者: 樊方成
导 师: 张铁
学 校: 东北大学
专 业: 计算数学
关键词: Cahn-Hilliard方程 有限元分析 稳定性和误差估计 超收敛
分类号: O241.82
类 型: 硕士论文
年 份: 2008年
下 载: 49次
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内容摘要
有限元方法是求解微分方程定解问题的一种十分有效的数值方法。它是先将微分方程定解问题化成与之等价的变分问题,再用有限维空间来逼近变分问题中的无穷维空间。它是基于样条函数方法提供了一种选取逼近空间的“局部基函数”或“分片多项式空间”的技巧。有限元法将微分方程定解问题定义在简单几何形状的单元域上,且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程。最初是由Cahn和Hilliard于1958年在研究热力学中两种物质(如合金,等)之间相互扩散现象时提出的。后来在描述生物种群的竞争与排斥现象、河床迁移过程、固体表面上微滴的扩散现象的研究中也提出了同样的数学模型。系统的研究Cahn-Hilliard方程是从八十年以后才开始的。由于Cahn-Hilliard方程在化学,化工和材料科学等方面的重要背景,近年来倍受关注,成果颇多。本文讨论求解非线性发展型Cahn-Hilliard方程的有限元方法,建立Cahn-Hilliard方程的半离散格式,借助一个双调和问题的有限元投影逼近给出了半离散和全离散逼近,稳定性,误差分析。特别是对于3次Hermite型有限元,得到了在剖分节点处导数逼近的超收敛性质。然后本文讨论了Cahn-Hilliard方程的全离散有限元逼近,构造出显式欧拉格式和Crank-Nicolson格式,并给出全离散格式的误差分析。
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全文目录
中文摘要 5-6 ABSTRACT 6-8 第1章 绪论 8-12 1.1 有限元方法简介 8 1.2 有限元方法的基本步骤 8-9 1.3 Cahn-Hilliard方程初边值问题发展背景 9-12 第2章 预备知识 12-20 2.1 Banach空间 12 2.2 L~p空间 12 2.3 Sobolev空间 12-14 2.4 Hilbert空间 14 2.5 有限元空间的性质 14-16 2.5.1 插值逼近性质 14-15 2.5.2 有限元逆性质 15-16 2.6 有限元方法的原理 16-18 2.7 常用的几个结论 18-20 第3章 Cahn-Hilliard方程的有限元分析 20-42 3.1 Cahn-Hilliard方程 20-21 3.2 Cahn-Hilliard方程半离散有限元解的存在唯一性 21-26 3.3 半离散格式的误差分析 26-33 3.4 全离散方法 33-42 3.4.1 向前欧拉格式 33-37 3.4.2 Crank-Nicolson格式 37-42 第4章 结论 42-44 参考文献 44-48 致谢 48
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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 微分方程、积分方程的数值解法 > 偏微分方程的数值解法
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