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曲线曲面的求值及降阶、等距变换的研究

作　者: 成敏
导　师: 王国瑾
学　校: 浙江大学
专　业: 计算机辅助几何设计与图形学
关键词: 计算机辅助几何设计 Bezier曲线曲面广义Ball曲线曲面曲线曲面求值时间复杂性等距曲线参数速度法矢方向有理逼近 NURBS曲线曲面显式矩阵表示降阶变换 Chebyshev多项式误差界
分类号: TP391.41
类　型: 硕士论文
年　份: 2003年
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引　用: 2次
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内容摘要

本文围绕CAGD领域中的三类占有重要地位的运算——Bézier曲线曲面求值运算、Bézier曲线及有理Bézier曲线等距变换以及NURBS曲线曲面的降阶变换问题展开深入研究．在系统地论述CAGD中此三类运算的内容、特点、已有研究成果的基础上，就以下三方面给出了研究成果： (1)基于广义Ball基的参数曲线曲面快速求值以前英国航空公司CONSURF系统机身模线程序数学模型的推广为基础，定义了两类广义Ball基曲面，给出了求值的递推算法，推导了Bézier曲面到这两类曲面的转换算法．根据以上算法，本文提出了对参数曲面快速求值的两种新方法．其一是直接应用广义Ball曲面，其二是把Bézier曲面转换到广义Ball曲面，再按后者来求值．同时给出了计算实例及相应的时间复杂性分析．理论分析与实例试算表明，这两种新算法与de-Casteljau算法相比具有明显的高效率．特别当采用Wang-Ball曲面时，算法的时间复杂性将从曲面次数的立方降低到平方．如果在曲面显示、曲面绘制、曲面设计、曲面求交、曲面逼近及曲面等距计算中应用这一方法，可望取得明显的经济效益． (2)等距曲线逼近(Offset) 提出了曲线参数速度逼近问题，指出等距曲线逼近问题的关键在于参数速度的逼近．首先利用以法矢方向曲线的控制多边形边长为Bézier纵标的Bézier多项式来逼近曲线的参数速度，给出了相应的几何等距逼近算法，进一步结合法矢方向曲线的升阶获得了高精度逼近．给出了曲线参数速度的Legendre多项式逼近，进一步给出了参数速度的插值区间端点的Jacobi多项式逼近，由此导出了保持法矢平移方向的两个等距代数有理逼近算法．并将以上的思想应用于有理曲线，给出了有理Bézier曲线的等距逼近算法．以上关于等距曲线的几何逼近与代数逼近的算法改革了当前国际图形界只能对基曲线沿法矢方向平移定距离的点作近似逼近的固定模式，创造了利于交互操作，能有效地减少计算量及数据存储量的新方法，可在数控加工、浙江大学硕士学位论文机器人、形位公差学、计算机图形学中获得很好的应用(3)NuRBs曲线曲面降阶应用NuRBS曲线的显式矩阵表示及Chebyshev多项式逼近理论，以实现NURBS曲线显式一次性降多阶的近似最佳逼近为目标进行了研究.推导出了NURBS曲线可退化的显式充要条件，并进一步详细地给出NURBS曲线降多阶的一种新方法，包括一段NURBS曲线的降多阶和一整条NURBS曲线的降多阶，并给出了相应的误差估一计公式及误差界.最后将其推广到曲面形式. 以上理论成果易于实现、计算便捷、精度高，为一直以来为数不多的NURBS曲线曲面降阶方法的研究增添了一点亮色.此法可望在图形和工业设计中获得广泛应用.

全文目录

摘要  6-8
ABSTRACT  8-10
第一章绪论  10-19
  1.1 CAGD中参数曲线曲面的研究历程  10-13
  1.2 Ball曲线曲面的研究及其应用  13-14
  1.3 等距曲线逼近方法综述  14-16
  1.4 NURBS曲线曲面降阶的研究现状  16-18
  1.5 本文的主要研究内容和结果  18-19
第二章基于广义Ball基的参数曲面求值  19-38
  2.1 引言  19-20
  2.2 Said-Ball曲面和Wang-Ball曲面  20-25
  2.3 二种曲面求值的递推算法  25-29
  2.4 Bézier曲面向两类广义Ball曲面的转换  29-32
  2.5 参数曲面的快速求值算法及图例  32-35
  2.6 计算时间复杂性分析  35-37
  2.7 小结  37-38
第三章等距曲线有理逼近  38-57
  3.1 引言  38-39
  3.2 曲线参数速度的几何逼近及代数逼近  39-46
  3.3 基于参数速度逼近的Bézier等距曲线逼近  46-53
  3.4 有理Bézier等距曲线的代数逼近  53-56
  3.5 小结  56-57
第四章 NURBS曲线曲面降阶  57-77
  4.1 引言  57-58
  4.2 NURBS曲线的显式矩阵表示  58-61
  4.3 一段NURBS曲线可退化的显式充要条件  61
  4.4 Chebyshev多项式的逼近性质及其与幂基的关系  61-63
  4.5 NURBS曲线降阶  63-69
  4.6 NURBS曲面降阶  69-75
  4.7 小结  75-77
第五章总结与展望  77-80
  5.1 本文工作总结  77-78
  5.2 未来研究展望  78-80
致谢  80-81
参考文献  81-87

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