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四元数矩阵特征值计算

作　者: 班涛
导　师: 黄礼平
学　校: 长沙理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 四元数四元数矩阵右特征值奇异特征值圆盘定理
分类号: O241.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
下　载: 339次
引　用: 1次
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内容摘要

四元数是在1843年由英国数学家W．R．哈密顿提出的。四元数的发现是数学史上的一个重大的事件。四元数在代数学，几何学，物理学，工程技术等方面有着广泛和重要的应用。特别是近10年以来，四元数在计算机科学，工程技术中的应用越来越多，更加受到人们的重视。矩阵计算是科学与工程计算的核心，它包括三大问题：线性代数方程组问题；线性最小二乘问题和矩阵特征值问题。矩阵特征值问题是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题，在自然科学和工程技术中有着广泛的重要的应用。以实四元数作为其元素的矩阵称为实四元数矩阵(以下简称四元数矩阵)．关于四元数矩阵的研究，近几十年来，已取得很多成果[1]，[23]-[27]，[32]，[47]，[52]，[55]-[57]．一般讲，很多复矩阵的性质可以推广到四元数矩阵上来，但是四元数矩阵也具有独特的与复矩阵不同的性质。关于四元数矩阵的数值计算，工作较少，尤其是四元数矩阵奇异特征值的计算，基本上尚未开始研究，难度很大。解决四元数矩阵的特征值问题同样具有非常重要的意义。设A是一个四元数矩阵，若λ满足Ax=λx(Ax=xλ)，则λ称为A的奇异(右)特征值。四元数矩阵的奇异特征值和右特征值存在着很大的差别。到目前为止，关于四元数矩阵右特征值的研究已经得到了很多令人满意的结果。Bunse-Gerstner等将复矩阵的OR算法应用到四元数矩阵中[1]，给出了四元数矩阵的OR分解和Schur分解，从而得到该四元数矩阵的右特征值和右特征向量。在本文中，我们将实矩阵特征值的乘幂法推广到自共轭实四元数矩阵中，得到关于自共轭实四元数矩阵右特征值的乘幂法。四元数矩阵右特征值的计算可转化为它的复表示矩阵的特征值的计算问题，本文利用复表示矩阵的特殊结构给出了一种减少计算其特征值计算量的方法。四元数矩阵计算中有一些新的问题是复矩阵计算中没有的内容。例如四元数奇异特征值的计算。黄礼平和So Wasin在[25]中讨论了2阶四元数矩阵的奇异特征值的性质，并给出了这些奇异特征值的代数表达式。在本文中，我们用C++编制的程序可以给出任意一个2阶四元数矩阵奇异特征值的数值解。本文还讨论了n阶实四元数矩阵奇异特征值的位置估计问题，给出关于实四元数矩阵奇异特征值的圆盘定理。本文还给出了计算一些特殊四元数矩阵一个或多个奇异特征值的方法。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-9
第一章概述  9-14
  1.1 研究背景及选题依据  9-10
  1.2 本论文研究的内容  10
  1.3 四元数体的基本知识  10-11
  1.4 实四元数矩阵的性质及其特征值  11-12
  1.5 符号表  12-14
第二章实四元数矩阵右特征值  14-22
  2.1 研究动态  14-15
  2.2 关于n阶实四元数矩阵右特征值计算的一些讨论  15-17
  2.3 关于自共轭实四元数矩阵右特征值的乘幂法  17-22
第三章实四元数矩阵奇异特征值及其数值解的实现  22-33
  3.1 概述  22-23
  3.2 实四元数矩阵奇异特征值圆盘定理  23-26
  3.3 2阶实四元数矩阵奇异特征值数值解的实现  26-30
  3.4 关于n阶实四元数矩阵奇异特征值计算的一些讨论  30-33
结论  33-34
参考文献  34-38
致谢  38-39
附录 A(攻读学位期间发表的论文)  39-40
附录 B(源程序代码)  40-47

四元数矩阵特征值计算

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