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基于对偶方法的运动群

作　者: 何章鸣
导　师: 冯良贵
学　校: 国防科学技术大学
专　业: 基础数学
关键词: 运动群姿态四元数对偶数对偶向量对偶矩阵对偶四元数螺旋运动外积运算符哈密尔顿运算符微分方程
分类号: O152
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

本文主要研究工作是用对偶数、对偶向量、对偶矩阵、旋转四元数和对偶四元数等对偶量研究运动群。通过外积运算符和哈密尔顿运算符这两个重要工具拓展和刻画平移群、旋转群和螺旋群的精确代数结构。进而求解四元数和对偶四元数的微分方程。本文第二章中,我们首先引入了对偶数、对偶向量、四元数和对偶四元数,并且研究它们的运算性质。进而介绍了这些抽象结构在运动群中的具体应用,相应给出对偶角、直线、旋转四元数和螺旋四元数的概念,得到:单位四元数、欧拉角和方向余弦矩阵的互解,论证和得到特征值法求解旋转四元数的方法;从矩阵代数的角度证明了姿态四元数中的旋转轴恰是方向余弦矩阵的特征值1所对应的唯一的单位特征向量,而旋转角可以通过方向余弦矩阵的迹算出。另外,用对偶向量表示直线做了唯一性限定。最后一节建立了最一般刚体运动与对偶矩阵及对偶四元数之间关系,得到对偶四元数的几何表示方法,并且对一般旋转群进行了拓展和刻画,借助单位对偶四元数结构定理得到直线的内积和外积的结构定理以及几何意义。本文第三章中,首先引入了向量的外积运算符,研究其基本性质;进而引入哈密尔顿运算符,利用向量外积运算符研究哈密尔顿运算符的代数性质。本质上这两种运算符都是将新的运算转换成矩阵运算的工具。可以说第二章是对个别刚体运动的刻画,目的就是让刻画简捷而实用,而第三章就是从同态角度对运动群整体结构的描述,注重元素的合成与运算。本章的第一节得到和论证了:空间旋转群与单位四元数球对{1,-1}的商群同构、对偶正交矩阵结构定理以及特征值法求解螺旋四元数的方法。在本章第一节末,以对偶正交矩阵的结构定理为基础,猜想并证明了空间螺旋群与第一类三阶正交对偶矩阵乘法群同构,而且与单位对偶四元数球对{1,-1}的商群同构,即: M(4)≌SO(?)(3)≌(H|∧)(1)/{±1}。第二节与第三节分别涉及了四元数微分方程和对偶四元数微分方程的获取及其解算,并给出相关的显式解。

全文目录

摘要  6-7
ABSTRACT  7-9
第一章绪论  9-15
  1.1 概述  9-10
  1.2 刚体运动群及其矩阵表示  10-13
    1.2.1 平面刚体运动群  10-11
    1.2.2 空间刚体运动群  11-13
  1.3 本文的主要工作  13-15
第二章基于对偶方法的运动群  15-33
  2.1 对偶数、对偶向量和对偶矩阵  15-21
    2.1.1 对偶量的引入  15-17
    2.1.2 对偶量的应用实例  17-21
  2.2 四元数和对偶四元数  21-32
    2.2.1 四元数与旋转  21-26
    2.2.2 对偶四元数与螺旋  26-32
  2.3 小结  32-33
第三章对偶量的代数性质探索  33-45
  3.1 哈密尔顿运算符  33-40
    3.1.1 外积运算符  33-34
    3.1.2 哈密尔顿运算符  34-40
  3.2 对偶四元数微分方程  40-43
    3.2.1 方向余弦矩阵微分  40-41
    3.2.2 四元数微分方程式  41-42
    3.2.3 对偶四元数微分微分方程  42-43
  3.3 对偶四元数微分方程的解算  43-44
    3.3.1 方向余弦矩阵微分方程式的解算  43
    3.3.2 四元数微分方程式的解算  43-44
    3.3.3 对偶四元数微分方程的解算  44
  3.4 小结  44-45
致谢  45-46
参考文献  46-48
作者在学期间取得的学术成果  48

基于对偶方法的运动群

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