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广义Hardy不等式和MHD方程在临界空间中的适定性

作　者: 张军勇
导　师: 苗长兴
学　校: 中国工程物理研究院
专　业: 应用数学
关键词: 适定性不等式磁流体方程唯一性极大算子不可压极大函数工作空间光滑解双模空间
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 37次
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内容摘要

本文分两部分：第一部分利用Hardy-Littlewood极大算子理论证明了一类广义的Hardy不等式，第二部分采用Fourier局部化理论和Littlewood-Paley理论对不可压磁流体方程（MHD）的适定性进行了初步的研究．为了陈述和查阅方便，在第一章中给出一些预备知识和记号。在第二章中，我们利用调和分析中的极大函数理论得到了一类广义的Hardy不等式，证明过程充分体现了调和分析方法的优势。其结论在很多地方很有用处，我们的结果改进了G．Hardy[1]，T．Cazenave[2]，J．-Y．Chemin[4]以及T．Tao[6]的结果．在最后一章中，我们采用Fourier局部化理论和Littlewood-Paley理论对三维不可压磁流体方程（MHD）的适定性进行了初步的研究。MHD方程是描述等离子体在磁场中的流动过程的状态方程，具有很强的物理背景。当不考虑磁场作用时，MHD方程就变成了经典的Navier-Stokes方程。众所周知，不可压Navier-Stokes方程是否存在整体正则解一直是数学物理界最关注的问题之一。Leray J.首先获得了Navier-Stokes方程弱解的存在性，后来Hopf E．推广了Leray J．的结果。他们的结果证明了初始值属于L²（R³）的NS方程至少存在一个弱解，然而Leray-Hopf弱解的唯一性和正则性问题一直是人们所关注的公开问题。从Navier-Stokes方程的研究来看，主要有两个途径，其一是通过研究Leray-Hopf弱解的正则性，来获得光滑解的整体存在性及唯一性（光滑解一定唯一）；其二是直接在较强的函数空间中研究Navier-Stokes方程的适定性。由于MHD方程具有与Navier-Stokes方程的相似结构，我们借助研究Navier-Stokes方程的方法来研究MHD方程的适定性。在这一章里我们主要采用的是第二种途径：在临界Besov空间（光滑度为-1的Besov空间）里建立MHD方程的适定性理论。我们知道Kato在研究Navier-Stokes方程的过程中选取了一种双模空间作为自己的工作空间（基于时空估计的思想）。在处理MHD方程适定性时，采用两种方法来处理。其一是Kato的双模方法，其二是利用单模方法。利用单模方法时，我们选取单模空间L^q([0,T];B_p,T^{（3/p）+（2+q）-1})作为我们的工作空间。这里（p，q，r）∈[1，2[×[2，∞]×[1，∞]并且满足3/p+4/q>2或者（p，q，r）∈[2，∞]²×[1，∞]且σ_p+2/q>0．

全文目录

目录  4-5
中文摘要  5-6
英文摘要  6-7
第一章预备知识  7-11
  §1.1 记号和定义  7-9
  §1.2 几个重要不等式  9-11
第二章广义Hardy不等式  11-15
  §2.1 主要定理  11-12
  §2.2 预备工作  12-13
  §2.3 定理2.1.1的证明  13-15
第三章 MHD方程在临界空间中的适定性  15-28
  §3.1 引言及主要结论  15-17
  §3.2 预备知识  17-18
  §3.3 定理3.1.1的证明  18-22
  §3.4 定理3.1.2的证明  22-28
参考文献  28-30
硕士阶段已发表的论文目录  30-31
致谢  31

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