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算术p-群的自同构

作　者: 兰海峰
导　师: 靳平
学　校: 山西大学
专　业: 基础数学
关键词: 算术p-群自同构群中心内自同构群不动点
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文从初等数论中提取出一类p^n+m阶非交换p-群G_n,m，其中p为奇素数且n>m≥1，称之为算术p-群，并在n≥2m的条件下确定了该群的自同构群，中心内自同构群的结构，对自同构群中p-元素进行了刻画并计算出G的p’-自同构群在G中不动点的个数．定理1．设群G=<a，b|a^pⁿ=b^{p^m}=1，a^b=a^{1+p^n-m}>，其中p奇素数且n≥2m，则Aut（G）=P×Q，其中P为Aut（G）的正规的Sylow p-子群且|P|=p^n+2m-1，但Q为p-1阶循环群．进而，Out（G）同构于半直积Z_p^m×U(Z_p^n-m)，其中U(Z_p^n-m)在Z_p^m上的群作用由典范群同态U(Z_p^n-m)→U(Z_p^m)给出（该典范同态的定义依赖于条件n-m≥m）．下面我们从元素的角度给出定理1中群Aut（G）中的p-元素的一个刻画．定理2．任取σ∈Aut（G），可令a^σ=b^jaⁱ，b^σ=ba^{kp^n-m}，其中（j,i,k）∈Z_p^m×U(Z_pⁿ)×Z_p^m，则σ为G的一个p-自同构当且仅当i为p-元素且p^m-e|j,其中p^e为i模p^n-m的阶．下面我们给出了一个特殊的自同构群．定理3．群G的全体中心内自同构组成的群与G的一个子群同构．定理4．群G的任意一个非平凡p’-自同构群在G中恰有p^m个不动点．当m=1时，则G_n,1恰为[1]中所述具有循环极大子群的有限非交换p-群，故本文的结果推广了[1]中相应的结论．

算术p-群的自同构

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