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非线性偏微分方程及其数值计算

作　者: 梁小磊
导　师: 林京
学　校: 合肥工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 非线性偏微分方程 KdV方程反演散射方法 Adomian分解方法 Padé逼近
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 127次
引　用: 1次
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内容摘要

本文的研究对象是非线性偏微分方程,由于这些偏微分方程来源于物理和其它应用学科,具有鲜明的物理意义,因此又称为非线性数学物理方程。本文讨论几个经典的非线性偏微分方程及他们的孤立波解,特别是较为详细地介绍了反演散射方法,以及利用这一方法来求KdV方程的单孤立波解和多孤立波解。反演散射法是解非线性偏微分方程的最常用,也是最普遍的方法,许多方程都可以利用这种方法来求解,目前也取得了一些结果。本文概述了非线性偏微分方程的一种数值解法——Adomian分解方法(ADM法),包括基本原理,Adomian多项式,噪声现象和收敛性分析。这种方法是比较简单实用的,它对方程和解法的要求都不高,但是它的缺点也是明显的,就是收敛区间比较小,我们通过对ADM法解出的级数解使用Padé逼近,有效地改进ADM法的这一缺陷,取得了良好的效果。通过对形变Boussinesq方程的实验,我们验证了ADM方法的应用,同时,通过这一例子,也说明了Padé逼近对ADM法的改进效果是非常明显的。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-7
致谢  7-11
第一章绪论  11-13
  1.1 研究背景简介  11-12
  1.2 文章的章节分布  12-13
第二章典型非线性偏微分方程及其孤立波解  13-26
  2.1 早期的历史：KdV 方程的发现  13-14
  2.2 Burgers 方程及其孤立波解  14-18
    2.2.1 Burgers 方程的孤立波解  15-17
    2.2.2 Hopf-Cole 变换  17-18
  2.3 反演散射方法与KdV 方程的多孤立波解  18-26
    2.3.1 Schrodinger 方程的散射与反散射问题  19-22
    2.3.2 反散射法求KdV 方程  22-26
第三章 Adomian 分解方法  26-46
  3.1 Adomian 方法的基本原理  26-29
  3.2 Adomian 多项式的计算  29-35
    3.2.1 计算Adomian 多项式的新的算法  30-33
    3.2.2 快速Adomian 分解法(BJ 算法)  33-35
  3.3 Adomian 方法的噪声问题  35-41
  3.4 Adomian 分解方法的收敛性  41-46
第四章 Padé逼近概论  46-64
  4.1 Padé逼近的定义和表达式  46-49
  4.2 Padé逼近的应用  49-64
第五章总结与展望  64-65
参考文献  65-69
攻读硕士学位期间发表的论文  69-70

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