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压缩感知的稀疏重构算法研究

作　者: 谢志鹏
导　师: 陈松灿
学　校: 南京航空航天大学
专　业: 计算机应用技术
关键词: 压缩采样 稀疏重构 欠定线性方程组 稀疏解 收敛分析 约束等距 非对称约束等距 Barzilai-Borwein步长 前向后向算子分裂 Douglas Rachford算子 对偶交替方向乘子法 组稀疏 重叠组稀疏
分类号: TN911.7
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要


压缩感知(Compressive Sensing)包括压缩采样(Compressive sampling)与稀疏重构(Sparsereconstruction)。压缩采样通过随机投影获得降维的观测数据，是一种新型的压缩采样方法，适用于核磁共振成像(MRI),超宽带信号处理，天文图象复原等海量数据实时采集与处理领域。稀疏重构利用信号的稀疏性，由低维观测恢复高维稀疏信号。稀疏重构算法的设计与分析已成为压缩感知的研究热点。现有的大规模稀疏重构算法主要包括三类:匹配追踪(Matching pursuit),迭代式硬阈值与L1范数最优化方法。本文对这三类算法进行了拓展性的研究、分析与实现。本文的主要工作包括：1)提出了压缩感知匹配追踪(compressive sensing matching pursuit)算法CSMP。其重构s稀疏信号的充分收敛条件是3s阶约束等距常数不超过0.23,由此放宽了匹配追踪的收敛条件,加快了收敛速率。针对大规模稀疏信号重构，该算法提供的矩阵向量乘算子可进行投影测量子集与稀疏基子集的选择，因此可利用离散余弦变换测量算子与小波变换稀疏基算子，避免显式存储大规模矩阵。2)提出了基于Barzilai-Borwein步长的稀疏约束迭代式硬阈值(Sparsity constrained IterativeHard thresholding with Barzilai–Borwein step size)算法SCIHTBB.该算法包含单调与非单调两个版本。基于非对称约束等距性质进行了相应的收敛分析.针对未知稀疏度问题，利用割线法实现了自适应稀疏度检测。SCIHTBB可应用于组(Group)稀疏、非负稀疏与矩阵补全(matrix completion)。3)设计并分析了一种稀疏重构算法FPSP3。该算法包含3个要素:不动点迭代(Fixed Pointiteration),SPG2非单调线搜索及热启动技术。由前向后向算子分裂推导出最优解的不动点迭代，并将该迭代分解为前向梯度步与后向邻近步。引入邻近算子表明后向邻近步对应软阈值收缩.通过证明梯度算子逆是强单调的从而获得收敛步长条件。采用SPG2非单调线搜索因而显著加快了不动点迭代收敛效率。在稀疏重构实验中将该算法与L1范数方法GPSR,SPARSA,SPGL1进行比较，结果表明FPSP3具有运算速度与重构精度的优势。4)提出了对偶交替方向乘子法(Dual Alternate Direction Multiplier Method)算法DADMM.其通过将交替方向乘子法（ADMM）运用于原始稀疏重构问题的对偶形式发展而得,并且形成了一个灵活的稀疏罚框架，可处理各种Lasso型稀疏罚，包括Lasso,Group Lasso,SparseGroup Lasso及Overlapping Group Lasso.最后理论上通过Douglas Rachford算子分裂法证明了其收敛性，实验比较验证了DADMM的快速计算效率。

全文目录


摘要  4-5
Abstract  5-11
第1章 压缩感知与稀疏重构介绍  11-36
  1.1 压缩感知的基本原理  12-16
    1.1.1 传统信号采集  12
    1.1.2 压缩采样过程  12-13
    1.1.3 稀疏重构的最优化模型  13-14
    1.1.4 信号的稀疏表示  14-15
    1.1.5 非相干性  15
    1.1.6 约束等距性质  15-16
  1.2 压缩感知应用  16-19
  1.3 稀疏重构算法进展  19-21
    1.3.1 匹配追踪进展:  19-20
    1.3.2 迭代式硬阈值进展  20
    1.3.3 L1 范数方法进展  20-21
  1.4 稀疏重构算法范例  21-32
    1.4.1 匹配追踪范例  21-25
    1.4.2 迭代式硬阈值范例  25
    1.4.3 L1 范数方法范例  25-32
  1.5 论文的主要研究工作  32-36
    1.5.1 贡献与创新  32-33
    1.5.2 本文内容安排  33-35
    1.5.3 各章算法的联系与区别  35-36
第2章 压缩感知匹配追踪(CSMP)  36-51
  本章概要  36
  2.1 引言  36-37
  2.2 约束等距性质(RIP)  37
  2.3 压缩感知匹配追踪(CSMP)  37-39
  2.4 CSMP 收敛分析  39-41
  2.5 CSMP,CoSaMP,SP 收敛速度比较  41-43
  2.6 最小二乘估计步分析  43-44
  2.7 带子集选择的矩阵向量乘算子  44-45
  2.8 压缩采样与稀疏重构实验  45-46
  2.9 讨论  46
  2.10 本章附录证明  46-51
第3章 基于 Barzilai–Borwein 步长的稀疏约束迭代式硬阈值(SCIHTBB)  51-77
  本章概要  51
  3.1 介绍  51-54
    3.1.1 L0 范数方法  51-52
    3.1.2 L1 范数方法  52-53
    3.1.3 IHT 的进展  53
    3.1.4 现有 IHT 的局限与对策  53
    3.1.5 本章的工作  53
    3.1.6 本章结构  53-54
  3.2. 预备知识  54-56
    3.2.1 L0 范数与稀疏度  54
    3.2.2 压缩感知中的非对称约束等距性质(ARIP)  54-55
    3.2.3 矩阵秩最小化中的非对称约束等距性质  55
    3.2.4 Barzilai-Borwein(BB) 步长  55-56
  3.3 单调 SCIHTBB  56-60
    3.3.1 稀疏约束二次规划(SCQP)  56
    3.3.2 SCQP 的主迭代  56
    3.3.3 单调步长准则  56-57
    3.3.4 单调 SCIHTBB 求解 SCQP  57-58
    3.3.5 单调 SCIHTBB 收敛分析  58-60
  3.4 非单调 SCIHTBB  60-62
    3.4.1 非单调步长准则  60
    3.4.2 非单调 SCIHTBB  60-61
    3.4.3 非单调 SCIHTBB 收敛分析  61-62
  3.5. SCIHTBB 在压缩感知中的扩展  62-65
    3.5.1 Pareto 曲线与自适应稀疏度  62-63
    3.5.2 组稀疏 SCIHTBB  63-64
    3.5.3 非负 SCIHTBB  64-65
  3.6 矩阵秩最小化(MRM)与矩阵填补问题(MCP)  65-68
    3.6.1 秩最小化与矩阵填补  65-66
    3.6.2 秩约束二次规划(RCQP)  66
    3.6.3 秩约束二次规划(RCQP)主迭代  66
    3.6.4 秩硬阈值算子  66
    3.6.5 单调步长准则  66-67
    3.6.6 单调 SCIHTBB 求解 RCQP  67-68
    3.6.7 算法 3.4 的收敛分析  68
  3.7 压缩感知实验与比较  68-71
    3.7.1 缩放测量矩阵的影响  69
    3.7.2 数据集规模的影响  69-70
    3.7.3 组稀疏信号重构  70-71
    3.7.4 非负稀疏信号重构  71
  3.8 矩阵填补(Matrix completion)实验  71-72
  3.9 讨论  72
  3.10 本章证明  72-77
第4章 基于前向后向算子分裂的稀疏信号重构(FPSP3)  77-83
  本章摘要  77
  4.1 引言  77
  4.2 基于算子分裂的不动点迭代  77-79
    4.2.1 目标函数  77
    4.2.2 算子分裂  77-78
    4.2.3 不动点迭代与前向后向步  78-79
  4.3 收敛性分析  79-80
    4.3.1 不动点迭代收敛性  79
    4.3.2 基于强单调算子的收敛步长条件  79-80
    4.3.3 收敛率分析  80
  4.4 FPSP3 算法  80-81
    4.4.1 SPG2 加速不动点迭代:FPSP2  80-81
    4.4.2 FPSP3 算法  81
  4.5 稀疏信号重构实验  81-82
  4.6 讨论  82-83
第5章 基于对偶交替方向乘子法的稀疏重构(DADMM)  83-104
  本章摘要  83
  5.1 介绍  83-87
    5.1.1 处理 Lasso 稀疏罚的 L1 范数方法  84-85
    5.1.2 原始问题的增广拉格朗日方法  85-86
    5.1.3 原始问题的交替方向乘子法(Primal ADMM)  86
    5.1.4 本章写作动机  86
    5.1.5 本章记号  86-87
  5.2 对偶交替方向乘子法  87-89
    5.2.1 原始问题及其对偶问题  87-88
    5.2.2 对偶交替方向乘子法(DADMM)  88-89
  5.3 Lasso 类稀疏罚重构  89-94
    5.3.1 Lasso 问题  89-90
    5.3.2 组 Lasso 罚  90-91
    5.3.3 l ,1罚  91
    5.3.4 稀疏组 lasso  91-92
    5.3.5 重叠组 Lasso  92-94
  5.4 DADMM 收敛分析  94-100
    5.4.1 最优条件与算子零点  94-95
    5.4.2 收敛证明  95-100
  5.5 压缩感知实验与比较  100-103
    5.5.1 基于 Lasso 罚的稀疏信号重构  100-101
    5.5.2 基于组 Lasso 罚的组稀疏高斯信号重构  101-102
    5.5.3 基于l ,1罚的组稀疏 0-1 信号重构  102
    5.5.4 基于稀疏组 lasso 罚的稀疏重构  102-103
    5.5.5 重叠组稀疏信号重构  103
  5.6 本章讨论  103-104
第6章 总结与展望  104-106
  6.1 总结  104
  6.2 展望  104-106
参考文献  106-113
在学期间发表的学术论文  113
攻读博士学位期间参与的科研项目  113-114
致谢  114

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中图分类: > 工业技术 > 无线电电子学、电信技术 > 通信 > 通信理论 > 信号处理
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