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求解Helmholtz问题的最优Schwarz算法

作　者: 袁广南
导　师: 曾金平
学　校: 湖南大学
专　业: 计算数学
关键词: 区域分解传输条件 Helmholtz方程最优Schwarz算法收敛分析
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
下　载: 74次
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内容摘要

Helmholtz方程在工程实际和科学技术中有广泛的应用背景.研究求解Helmholtz方程数值解法对处理在电磁学、声学等领域中的很多物理问题都具有很重要的意义.近年来兴起的区域分解算法起源于Schwarz交替法(1870),它的特点是能将大型问题分解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问题,具有优良的并行性能.经过几十年的发展,特别是近年来随着并行计算机和并行算法的飞跃发展,区域分解算法的相关理论不断发展和日趋成熟,其应用也逐渐拓展到了各种领域.其中,有一类区域分解方法――Waveform RelaxationSchwarz算法,得到广泛的推广和应用.本文主要讨论求解Helmholtz方程的古典Schwarz算法和它的Waveform Relax-ation形式.首先,分析古典Schwarz算法求解Helmholtz问题时的收敛情况,说明古典Schwarz算法对求解Helmholtz问题并不凑效.尤其在非重叠情形,算法不收敛.在连续情形下,通过修改古典Schwarz算法中的Dirichlet传输条件,得到能使Schwarz算法有最优收敛速度的连续传输条件(带参数的广义Robin条件).然而,这些传输条件是全局相关的,不便于实际计算.本文用偏微算子得到最优连续传输条件的估计,通过适当选取参数使得算法性能优化,得到一类算法,称为最优Schwarz算法,它属于Waveform Relaxation Schwarz算法.本文还在离散情况下,分析了Schwarz算法的最优离散传输条件和给出其估计方法.另外,给出最优Schwarz算法的几种推广.最后,对文中所提到的算法给出了数值算例,证实了算法的有效性.

全文目录

学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书  4-5
摘要  5-6
Abstract  6-10
插图索引  10-11
附表索引  11-12
第1章绪论  12-19
  1.1 区域分解法及Schwarz算法的发展  12-16
  1.2 Waveform Relaxation Schwarz算法  16-17
  1.3 Helmholtz问题  17-19
第2章古典Schwarz算法的收敛分析  19-27
  2.1 求解Laplace方程的古典Schwarz 算法  19-23
    2.1.1 投影解释理论  19-22
    2.1.2 基于Fourier变换方法的收敛分析  22-23
  2.2 求解Helmholtz方程的古典Schwarz 算法  23-27
第3章求解Helmholtz方程的连续最优Schwarz算法  27-33
  3.1 广义Schwarz 算法  27-30
  3.2 连续情形的最优Schwarz算法  30-33
第4章连续情形的最优传输条件的估计  33-42
  4.1 Taylor 估计传输条件  34-36
    4.1.1 零阶Taylor估计传输条件（TO_0）  34-35
    4.1.2 二阶Taylor估计传输条件（TO_2）  35-36
  4.2 零阶估计最优传输条件  36-37
  4.3 二阶估计最优传输条件  37-42
第5章求解Helmholtz方程的离散最优Schwarz算法  42-47
  5.1 最优Schwarz算法的离散化  42-44
  5.2 最优离散传输条件  44-45
  5.3 最优离散传输条件估计  45-47
第6章关于Schwarz算法的几种推广  47-50
  6.1 多子域最优Schwarz算法  47-48
  6.2 两水平最优Schwarz算法  48-50
第7章数值算例  50-54
结论  54-55
参考文献  55-58
附录A（攻读学位期间所发表的学术论文目录）  58-59
致谢  59

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