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求解非线性方程重根的迭代算法

作　者: 周小建
导　师: 宋永忠
学　校: 南京师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 非线性方程重根迭代算法最优阶收敛半径数值试验动力学行为
分类号: O241.7
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

求解非线性方程的根在数值分析中很重要,它广泛应用于工程和其它应用领域的科学计算中。迭代算法是求方程根的众多方法中应用得最为广泛的一类方法,它从某个初始点出发,由迭代格式生成一组收敛于方程根的序列。众所周知,利用目标函数f(x)的高阶导数信息可以更加方便地构造出高阶收敛的迭代格式。然而,在很多情况下计算高阶导数是很费计算时间的,甚至是不可能的。因此,这类方法在实际应用中受到很多限制。对于求解方程的单根,目前已经有了相当多的高阶迭代方法,相应的构造技术手段也比较丰富和成熟。然而,这些技术手段一旦用来构造求解重根的迭代算法时,就显得是相当的复杂甚至无效。另一方面,大量的理论和数值实验都表明,求解单根的高阶迭代算法如果不加修正地直接用来求解方程的重根,其收敛阶数将大为降低(通常只有一阶)。一个简单明了的例子就是经典的牛顿迭代法。它二阶收敛于方程的单根,但只能线性收敛于方程的重根,收敛速度变慢。因此,如何构造出求解方程重根的高阶,尤其最优阶的迭代格式是一项具有挑战性的工作。到目前为止,这方面的成果还不是很丰富。目前绝大多数求解重根的最优阶迭代算法在构造过程中,都利用了方程重根的重数信息。另外,对单根的情形,有许多工作是讨论方法的收敛半径问题。然而对重根的情形,相应的工作却少之又少。这篇论文主要研究求解非线性方程重根的迭代算法。我们首先给出了一类最优的、四阶收敛的迭代格式,该类迭代格式几乎包含了所有已知的最优阶迭代算法。通过对求解单根的多步迭代算法的观察分析,我们发现,它们的共同点是第一步都借助牛顿迭代法或其它具有二阶收敛速度的迭代格式。然而,这种预迭代方法似乎在构造求解重根的迭代算法时并没有充分利用起来。因此,我们尝试给出两类校正步为修正牛顿迭代步的迭代算法。此外,我们还给出了两个不需要知道根的重数的迭代算法。而且,它们也不需要计算目标函数的导数以及“精挑细选”地选取初始值。尽管这两种方法的收敛阶并非最优,但它们的优势是不言而喻的。对迭代算法而言,收敛半径的问题是至关重要。对于求解重根的迭代算法而言,这方面的工作很少。直到最近,Ren和Argyros基于高阶差分和多重积分,给出了修正的牛顿迭代法的收敛半径估计。我们首先利用他们的方法,估算出Osad;迭代算法的收敛半径。进一步,我们提出了一种基于带有积分余项的Taylor展开式的方法,改进了上述收敛半径。这种方法相比于Ren和Argyros给出的方法简单而有效。因此,我们又重新估算了修正牛顿迭代法的收敛半径,同样得到了更好的结果。本文的最后一部分在复平面区域上,讨论了一些求解重根的迭代算法的动力学行为。我们绘制了大量的吸引域分形图并加以分析。结合已有的结果,我们可以发现,本文给出的一些迭代方法在方程根的附近具有较好的动力学行为,很少出现混沌现象。尽管Halley迭代算法表现最好,但它在迭代过程中需要计算函数的二阶导数,这在实际应用中很不现实。需要说明的是,为了验证我们的理论分析结果,在每一节最后,我们都将给出几个数值试验来增强说服力。

全文目录

Contents  4-6
目录  6-8
摘要  8-10
Abstract  10-12
Preface  12-17
Chapter 1 Preliminaries  17-20
Chapter 2 Iterative Methods with Multiplicity  20-51
  2.1 Introduction  20-23
  2.2 Jarratt Type Iterative Methods  23-31
    2.2.1 Development of high-order method  23-26
    2.2.2 Some special cases of order four  26-30
    2.2.3 Numerical results  30-31
  2.3 Newton-type Iterative Methods Ⅰ  31-43
    2.3.1 Family of third-order methods  32-34
    2.3.2 Family of fourth-order methods  34-38
    2.3.3 Some special cases  38-40
    2.3.4 Numerical results  40-43
  2.4 Newton-type Iterative Methods Ⅱ  43-50
    2.4.1 New family of fourth-order methods  43-47
    2.4.2 Two special members  47
    2.4.3 Numerical results  47-50
  2.5 Conclusion  50-51
Chapter 3 Iterative Methods without Multiplicity  51-67
  3.1 Introduction  51-52
  3.2 Variant Iterative Methods of Newton-type  52-57
    3.2.1 Iterative methods of order eight  52-53
    3.2.2 Some concrete iterative methods  53-54
    3.2.3 Numerical results  54-57
  3.3 Iterative Method without Multiplicity and Derivative  57-66
    3.3.1 Development of two-step methods  58-62
    3.3.2 Numerical results  62-66
  3.4 Conclusion  66-67
Chapter 4 Local Convergence Analysis of Iterative Methods  67-101
  4.1 Introduction  67-68
  4.2 Convergence Radius of Osada's Method for Multiple roots  68-80
    4.2.1 Preliminaries  68-70
    4.2.2 Main results  70-79
    4.2.3 Numerical results  79-80
  4.3 Improvement of Convergence Radius of Osada's Method  80-90
    4.3.1 Taylor expansion  80-81
    4.3.2 On convergence radius of Osada's method  81-88
    4.3.3 Numerical results  88-90
  4.4 On the Convergence Radius of the Modified Newton's Method  90-100
    4.4.1 Introduction  90-92
    4.4.2 Beta function and Taylor expansion with inte:gral form remainder  92-93
    4.4.3 Convergence radius of the modified Newton's method  93-98
    4.4.4 Numerical results  98-100
  4.5 Conclusion  100-101
Chapter 5 Dynamical Behaviors of Iterative Methods  101-125
  5.1 Introduction  101-105
  5.2 Numerical results  105-124
  5.3 Conclusion  124-125
Bibliography  125-130
致谢  130-131
Appendix A Published Work  131

求解非线性方程重根的迭代算法

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