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无交换关系代数和零因子图

作　者: 李爱华
导　师: 郭晋云
学　校: 湖南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 单项式代数无交换关系代数 Arint代数同调猜想零因子图 Von Neumann正则环边色数
分类号: O153.3
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

用图的方式表示代数结构,不仅可以将抽象的知识直观化,而且还可以利用图的结构研究代数的性质,这其中比较有代表性的应该是箭图和零因子图.本文利用这一思想方法,主要研究单项式代数的推广、Nakayama猜想的证明以及von Neumann正则环上的图结构.我们分三章进行讨论.第一章简要介绍研究的背景、思想方法和本文的主要结果.第二章主要讨论了单项式代数的推广,定义了一类新的代数-无交换关系代数,我们研究了其基本性质并相应地在这类代数上证明了Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想,从而推广了前人的结果.作为一个公开问题(见文[14]),推广单项式代数是一个十分重要的研究课题,这不仅因为其结构简单,是许多问题研究的起点,而且许多著名的猜想在单项式代数上是成立的(见文献[28][29]).在§2.2中,根据箭图和路代数的思想方法,通过在一般Artin代数上引入一套类似于路代数的概念和方法,定义了一类排除了交换关系的代数,称之为无交换关系代数(见定义2.2.9).§2.3则证明了一个重要结论：假定K是域,并Λ≌KΓ／I是一个单项式代数,那么Λ是一个无交换关系的代数(见定理2.3.5).这就说明了单项式代数是无交换关系代数的一种特例.紧接着,我们给出了几个重要例子,说明了反之是不一定成立的,从而证明了这种推广是有效的非平凡推广在§2.4和§2.5中,我们证明在推广以后的这类代数上Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想仍然是成立的.我们将右Artin代数Λ中的元素视为投射模之间的同态,结合箭图理论的思想方法,讨论了控制维数大于等于1(或者2)的右Artin代数的性质,得到了本文的一个最重要结论：控制维数大于等于2的右Artin代数Λ是Nakayana代数的充分且必要条件是Λ是无交换关系的代数(见定理2.5.9).从而在这类代数上证明了Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想.第三章主要讨论von Neumann正则环上的图结构.对零因子图的研究,一方面为代数系统的结构和性质的研究注入了新的思想方法,另一方面为图论的研究提供了新的研究对象和应用平台.目前对有向零因子图的研究主要集中在有限环上(见文[67]-[69]),对于一般von Neumann正则环R的有向零因子图Γ(R),我们在§3.2中刻画了其连通性和顶点情况,证明了Γ(R)是连通的当且仅当R是直有限的；如果R是无单位元的正则环,那么Γ(R)是连通的当且仅当R无真的单边恒等元.我们用Sour(R),Sink(R)分别表示有向零因子图Γ(R)的源点和收点集合.那么我们有：(1) Sour(R)={α∈R|α是右可逆的但左不可逆}；(2) Sink(R)={α∈R|α是左可逆的但右不可逆}.根据零因子图的构造思想,在§3.3中,我们在一般环R上引入了一类新的图结构ΓN(R),这种图结构相对于零因子图而言,更多的反映了关于幂零元的信息.对正则环R,我们刻画了ΓN(R)的连通性、直径和围长(见定理3.3.6),以及当ΓN(R)为星图时对R的完全刻画(见定理3.3.7)另外,对有限非约化交换环R,我们给出了其边色数公式：χ′(ΓN(R))=△(ΓN(R)),除非R=N(R)并且|R|为偶数(见定理3.3.14).同时,如果S是一个交换环且不是域,那么除了两种情形外,ΓN(R)(?)ΓN(S)(?)R(?)S(见定理3.3.16).

全文目录

中文摘要  3-5
英文摘要  5-9
1 绪论  9-19
2 无交换关系代数  19-45
  2.1 预备知识  19-21
  2.2 单项式代数的推广-无交换关系代数  21-25
  2.3 性质及重要例子  25-32
  2.4 投射模之间的同态  32-34
  2.5 控制维数大于等于2的右Artin代数  34-45
3 Von Neumann正则环上的图结构  45-63
  3.1 预备知识  45-49
  3.2 Von Neumann正则环上的零因子图  49-53
  3.3 Von Ncumann正则环上的一类图结构  53-63
参考文献  63-69
攻读博士期间发表(接受发表)的学术论文  69-71
致谢  71-72

无交换关系代数和零因子图

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