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Theta函数恒等式及其应用

作　者: 杨晓梅
导　师: 刘治国
学　校: 华东师范大学
专　业: 信息安全
关键词: Jocobi Theta函数 Borweins三次Theta函数 Schr(o ¨)ter公式 模恒等式 Eisenstein级数
分类号: O174.6
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
下　载: 72次
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内容摘要


利用Theta函数和椭圆函数经典理论，本文主要讨论Theta函数的乘积恒等式和经典Theta函数模拟的一般化推广及他们在Ramanujan理论，数论及模形式等方面的应用。在研究中，作者发现了许多Theta函数恒等式，并对这些恒等式的应用进行了详细的讨论。其具体内容如下：1．对两个Theta函数乘积的恒等式Schr（o|¨）ter公式进行了讨论。作者利用完全剩余系的性质证明了Schr（o|¨）ter公式的一种非常重要的情况。从这个恒等式出发，一些著名的Theta函数加法公式，Hirschhorn七重积恒等式被重新发现．进一步，（q；q）∞6的展开式，Jacobi恒等式和三角函数恒等式也得到了证明。同时，还得到了两个非常值得注意的Theta函数恒等式，他们是Ramanujan两个著名的5阶模恒等式的外延。2．对三个Theta函数乘积的恒等式进行了讨论。利用Theta函数理论，得到了四个一般的关于三个Theta函数乘积恒等式，同时把两个变量的Hirschhorn-Garvan-Borwein三次Theta函数一般化为3个变量的Theta函数，并对其性质，关系，乘积表示式及变换公式也都进行了相应的推广。从四个一般的Theta函数恒等式出发，还得到了许多的Theta函数恒等式，如Ramanujan恒等式，Winquist恒等式的一个变形，五重积恒等式，Farkas -Kra恒等式和Macdonald恒等式等等。而且这些一般的还包含了Shen[75]的结果作为特殊情况。从所得的恒等式出发，很快就得到（q；q）∞2，（q；q）∞4（q5；q5）∞，（q；q）∞4(q1/5；q1/5)∞，（q；q）∞8和（q；q）∞10的级数展开式。3．从几个Theta函数恒等式出发，着重对模群Γ0（3）上的Eisenstein级数进行了讨论。利用Theta函数对数导数的性质，得到了Borweins三次Theta函数的Eisenstein级数展开式，并导出了几个Eisenstein级数的迭代式。

全文目录


摘要  6-7
ABSTRACT  7-9
目录  9-11
主要符号对照表  11-12
第一章 绪论  12-22
  1.1 背景介绍  12-17
  1.2 基本知识  17-22
第二章 两个Theta函数乘积展开的Schr(o|¨)ter公式  22-36
  2.1 Schr(o|¨)ter公式  22-24
  2.2 Theta函数的加法公式  24-26
  2.3 两个Ramanujan 5阶模恒等式  26-29
  2.4 三角恒等式和七重积恒等式  29-32
  2.5 Jacobi恒等式和几个(q~2:q~2)_∞~6的展开式  32-34
  2.6 本章小结  34-36
第三章 三个Theta函数乘积和一般化的三次Theta函数  36-64
  3.1 关于三个Theta函数的乘积的两个恒等式  36-39
  3.2 一般化的三次Theta函数  39-44
  3.3 Ramanujan恒等式,Winquist恒等式的一个变形,五重积恒等式及其他  44-50
  3.4 关于三个Theta函数乘积的其他恒等式和一般的三次Theta函数  50-57
  3.5 Farkas-Kra恒等式,Maedonald恒等式及其他  57-58
  3.6 (q:q)~2,(q:q)~9和(q:q)~(10)的级数展开式  58-61
  3.7 本章小结  61-64
第四章 模群Γ_0 (3)上的Eisenstein级数  64-72
  4.1 几个Theta函数恒等式  64-65
  4.2 Borweins' Theta函数的Eisenstein级数展开及其他  65-68
  4.3 模群Γ_0(3)上的Eisenstein级数  68-71
  4.4 本章小结  71-72
第五章 结论  72-74
参考文献  74-82
攻读博士学位期间发表和完成的论文情况  82-84
致谢  84

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 函数论 > 特殊函数
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