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相依随机变量序列的强极限定理

作　者: 赵月旭
导　师: 林正炎
学　校: 浙江大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 强极限定理 混合序列 NA序列 尾概率级数 定理1 独立同分布 强大数律 单调函数 极限性质 可交换
分类号: O211
类　型: 硕士论文
年　份: 2002年
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内容摘要


本文是在攻读硕士学位期间完成的，全文共分三章： 第一章是有关可交换随机变量序列强极限定理的一些内容。可交换性概念最早由De Finetti提出，其极限性质曾引起人们的广泛关注，在第二节里，我们讨论了可交换随机变量的随机极限定理，Taylor和Hu于1987年给出了可交换随机变量序列如下的强大数律： 定理A设{Xn：n≥1}是可交换随机变量序列，且EF|X1|＜∞，μ-a.s.，则 μ（F：EFX1=0）=1（?）1/n sum from k=1 to n Xk→0 a.s.。 李应富改进和推广了Taylor和Hu的结果，本节中我们又将李应富的部分结果推广到了随机足标的情形，得到了可交换随机变量序列的随机强大数律，另外还得到了随机加权和定理，主要结果如下： 定理1．2．1 设{Xn：n≥1}是可交换随机变量序列，{Un：n≥1}是取正整数值的随机变量，Un↑+∞，它们定义在同一概率空间上，且相互独立，则 （ⅰ） 当0＜p＜1时，等价于μ（F：EF|X1|p＜∞）=1； （ⅱ） 当1≤p＜2时，等价于μ（F：EF|X1|p＜∞，EFX1=0）=1。 定理1．2．2 设{Xn：n≥1}、{Un：n≥1}如定理1．2．1所定义，{Un/n}随机有界，则EF|X1|α＜∞，α∈（0，2），μ-a.s.的充要条件是：对任意满足P( sup sum from k=1 to Un ank2＜∞)=1的实数列{ank}，有 在第三节中，我们针对Prohorov提出的关于独立同分布随机变量的三个问题：设{Xn：n≥1}为独立同分布随机变量序列，Sn=sum from i=1 to n Xi，正值单调函数φ（t）和H（t）在（0，+∞）上有定义，且H（t）↑+∞，Φ（x）=integral from 0 tox φ（t）dt。定义 ν（ε）=sum from n=1 to ∞ I（|Sn|≥εH（n））；浙江大学硕士学位论文内容提要那么在一定条件下是否有下列三个结论成立.沪（7*）p（}S。1全:H（，、））<oo等价于E小（。（:））<、;从战甲（，‘）P（，liax 丸丈n全:H（耐）<oo等价于E侧H一‘（斌:））)<、;沪（。）P（sup 丸）nH（幼全约<、等价于E到斌动）<00.。艺阔8艺润、艺侧 苏淳、邵启满解决了PI，ollorov提出的这一问题，这一节我们通过讨论可交换随机变量序列的部分和关于正值单调函数的尾概率级数的收敛性和某种形式矩的存在性之间的关系，回答了在一定条件下可交换随机变量关于这三个问题的一些结果，这些结果是全新的，并得到了一系列充分性和等价性结论. 本章第四节，我们给出了可交换随机变量序列如下的重对数律: 定理1.4.1{凡‘:。全l}是可交换随机变量序列，若E尸X，二0，EFX子二尹，/，一。.、.则lini suP卫玉匕=厅了2云工乏五定理1.4.2{x。:7乞全l}是可交换随机变量序列，若存在。>0，使得P（lini suP 7乞-今〔又 EXI= }S。}亦舔三‘几）一‘，则有 定理1.4.3{X。o，Ex犷<、.:，、全l}是可交换随机变量序列，若弘>1，月>0，c>0和?。〕全1，使得p(志>尽，三…p{一LZ几，一全一则存在常数凡>0，使得lim suP 民不蔽蕊三凡热“·s.. 对于可交换随机变量序列的重对数律，研究者甚少，所以我们对此做了一些探讨性工作，得到了上述一些全新的结果. 第二章是有关NA序列部分和的完全收敛性问题，由于NA序列在许多理论中有着广泛的应用，所以成为众多学者研究的对象，本章中我们主要通过讨论某个随机变量的矩与部分和尾概率级数的收敛性的相互关系，获得了NA序列与独立序列极为类似的强极限性质，并将苏淳等的结果推广到了不同分布的情形，我们得到了以下主要结果: 定理2.2.2设{凡L:。全1}为NA序列，若存在随机变量X，使得当工、二时，有s11pP(匹‘巨劝《尸（1州全劝，且当O<。三而时，E凡‘二0，则在条件（A）一（D）之下，对浙江大学硕士学位论文内容提要（i）刀中（H一1（{X!））<、;沪（，*）p（装.玲）!全:万（，*））<oo;人八曰丈一沪（，‘）p（1}从}全:H（哟）<、.8艺同。又阔我们有（i）井（111）井定理2.2.4设{凡‘:。七1}为NA序列，若存在随机变量X，使得当二、、时，有到川七劝《思圳Xn}全x）三supP（}X二1全二）《P（{X{全x），且当0<n三命时，EX。一0，则在条件（助一（D）之下，对下列结论 （i）刀中（H一，（}X}））<oo;、（，‘）p（1嘿}心）}全￡H（n））<OO;沪（7‘）p（1InaX<k<几!乓}全:H（川）<oo·加艺侧叨艺侧我们有（i）铃（11）件（111 第三章我们讨论了混合序列的极限定理，在一定的混合速度下，我们给出了不同分布户一混合序列的完全收敛性，得到了混合序列完全收敛性更为一般的结果，主要结论如下: 定理。.2.，设{x7::，‘:1}为。一混合序列，全。苦（2n）、oo，归。:2）若存在随机变量x，使得当二、、时，有sllp尸（}瓜}七劝《尸（}川全 ?z>l在条件（A）一（D）之下，对下列结论=Ox），且当0<。三命“寸，E凡‘一0，则E侧H一‘（}川））<叫 O〔ii）艺侧耐p n=l1llaX<k<n】S、{全:H（哟）<二.我们有（i）井(1

全文目录


内容提要  3-6
本文使用缩写及符号说明  6-7
Abstract  7-11
前言  11-12
第一章 可交换随机变量序列的强极限定理  12-30
  1.1 引言  12-13
  1.2 可交换r.v.序列的随机极限定理  13-18
    1.2.1 定义和主要结果  13-14
    1.2.2 定理的证明  14-18
  1.3 可交换r.v.序列部分和的完全收敛性  18-26
    1.3.1 定理及证明  18-26
  1.4 可交换r.v.序列的重对数律  26-30
    1.4.1 主要结果  26
    1.4.2 定理的证明  26-30
第二章 NA序列部分和的完全收敛性  30-40
  2.1 定义及引言  30-31
  2.2 主要结果  31-32
  2.3 定理的证明  32-40
第三章 不同分布ρ-混合序列的完全收敛性  40-49
  3.1 定义及引言  40-41
  3.2 主要结果  41-42
  3.3 定理的证明  42-49
参考文献  49-51
致谢  51

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 概率论与数理统计 > 概率论（几率论、或然率论）
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