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变系数椭圆问题的后验误差估计及自适应有限元方法

作　者: 王利强
导　师: 黄云清
学　校: 湘潭大学
专　业: 计算数学
关键词: 后验误差估计自适应有限元网格加密
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

自适应有限元方法自上世纪七十年代以来一直都是科学与工程计算领域的研究热点，是一种以常规有限元方法为基础通过后验误差估计和网格自动调整来不断提高逼近解精度的数值计算方法。它能以尽量少的计算量达到所要求的逼近精度，因此是一种具有较高识别能力，应用范围更广，高效可靠的计算方法。其中，后验误差估计是自适应有限元方法的关键和核心，其作用就是利用有限元逼近解的信息和已知量计算逼近解在求解域当前剖分网格上的逼近误差，得到逼近解误差的分布情况，进而对其逼近精度做出可靠性分析。后验误差估计方法的好坏直接影响着自适应有限元方法的效率和可靠性。网格自动调整指的是，根据误差均分原则，利用得到的后验误差估计量及其分布，对当前的网格实施剖分加密或放粗的调整，进而给出下一步有限元计算的网格。本文针对变系数椭圆问题，给出了一种新型的后验误差估计方法。它的主要思想是，运用有限元方法在求解域当前的剖分网格T_h求解问题，得到问题的有限元逼近解u_h;接着，全局一致加密T_h得到辅助网格T_h/2,在辅助网格上，首先利用网格T_h上的单元刚度矩阵信息快速形成T_h/2上的总刚度矩阵，然后，以u_h在辅助网格对应的有限元空间上的插值为初值，利用光滑迭代法计算辅助网格上的有限元方程，得到问题的一个近似解u_h/2,m;最后，我们以u_h和T_h/2,m之差的能量范数作为后验误差估计量。基于此后验误差估计方法，我们提出了相应的自适应有限元算法。另外，对于自适应计算过程中的网格调整，我们运用的是能保证网格正则性和协调性，且易于实现二分法网格加密技术。实践中，我们进行的多种类型的数值实验结果证实，本文给出的后验误差估计和自适应有限元算法是有效可行的。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-9
第一章引言  9-12
  1.1 研究背景  9-11
  1.2 文章结构安排  11-12
第二章预备知识  12-16
  2.1 空间及其范数  12-13
    2.1.1 空间及其范数  12
    2.1.2 Sobolev 空间及其范数  12-13
  2.2 网格剖分  13-16
    2.2.1 Voronoi 图与Delaunay 三角剖分  14
    2.2.2 CVT 及CVDT  14-15
    2.2.3 CCVT 及CCVDT  15
    2.2.4 正则剖分  15-16
第三章后验误差估计及其自适应有限元方法  16-33
  3.1 问题模型及适定性  16-18
  3.2 有限元逼近解  18
  3.3 有限元的后验误差估计  18-22
    3.3.1 残量型后验误差估计  19-21
    3.3.2 梯度重构型后验误差估计  21-22
  3.4 新型后验误差估计  22-24
  3.5 后验误差的快速计算  24-28
    3.5.1 快速形成总刚度矩阵A~(h/2)  24-26
    3.5.2 快速求解A~(h/2)U = F~(h/2)  26-28
  3.6 自适应有限元算法  28-33
    3.6.1 二分法网格调整  28-32
    3.6.2 基于新型误差估计的自适应有限元算法  32-33
第四章数值实验  33-47
  4.1 实验一：问题真解的解析形式已知  33-41
    4.1.1 算例1  33-35
    4.1.2 算例2  35-41
  4.2 实验二：问题真解的解析形式未知  41-47
    4.2.1 算例3  41-42
    4.2.2 算例4  42-47
总结与展望  47-48
参考文献  48-51
致谢  51

变系数椭圆问题的后验误差估计及自适应有限元方法

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