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DSC核在数值求解PDE中的应用

作　者: 陈端
导　师: 徐长发
学　校: 华中科技大学
专　业: 计算数学
关键词: DSC算法非线性偏微分方程小波分析 Burger’s方程振荡抑制
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2005年
下　载: 32次
引　用: 0次
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内容摘要

传统的数值求解偏微分方程(PDE)的算法包括以有限差分、有限元为代表的局部法和以谱方法为代表的整体法。近年来,Wei,Hoffman等人提出了一种所谓离散奇异卷积(DSC)的算法,这种算法兼具整体法的精确性和局部法的灵活性。DSC算法不同的奇异核及其衍生算法已成功地应用到弹性力学、流体力学和数字信号处理等多个领域。DSC算法的意义在于:DSC算子可以看作是一种微分算子,具有形式简单、结构统一,精度较高的特点; 另一方面,DSC核与小波函数有着密不可分的联系。因此,DSC算法有利于偏微分方程数值解和小波分析这两个学科的交叉融合。非线性PDE的求解一直是科学计算中的难题,DSC算法在求解非线性PDE,特别是流体力学的问题计算中也存在数值解振荡的问题。因此,利用小波分析这一强大的时-频分析工具针对DSC 算法的特点,寻求合适的抑制振荡的各种格式、算法是DSC算法求解PDE中的一个重要课题。本文利用小波分析理论,对DSC算法求解线性、非线性偏微分方程作出了补充和改进,主要内容体现在两方面,一是利用Daubechies小波函数的尺度函数作自相关,构造了一种新的DSC核。这种DSC和具有内插、对称、紧支的特点,在某些情况下求某些方程具有优越性; 二是分析了DSC算法在求解非线性方程中的数值解振荡问题,利用小波变换理论分析了振荡解的奇异性,探讨了该奇异性在小波变换的特点,从而能构造了DSC-Wavelet迭代算法抑制振荡。并从频域角度揭示了迭代算法的机制。本文是对于小波分析应用于偏微分方程数值解的一种新的尝试。文章从频域的角度,不仅将DSC核看作一种微分算子,还将其看作是滤波器组,同时也将方程的解视作带有奇异性的信号。未囿于方程本身的特性,从数值信号处理的角度对含有振荡的数值解进行分析处理。最后,通过一种非线性发展型方程―Burger’s方程及其初始问题验证了DSC-Wavelet算法的有效性和这种思想的可行性。

全文目录

中文摘要  4-5
Abstract  5-8
主要符号对照表  8-9
1 绪论  9-12
  1.1 选题背景  9
  1.2 国内外研究概况  9-10
  1.3 文章内容安排  10-12
2 数值求解PDE  12-19
  2.1 偏微分方程的三种基本类型  12-15
  2.2 PDE的基本解法及现状  15-17
    2.2.1 几种基本的PDE数值解法  15-16
    2.2.2 PDE数值解的现状:高分辨率方法  16-17
  2.3 整体法与局部法的结合:DSC方法  17-19
3 奇异卷积理论与DSC核  19-30
  3.1 广义函数概念下的奇异卷积  19-20
  3.2 奇异核的序列化与DSC(离散奇异卷积)  20-22
  3.3 Shannon核及其正则化  22-25
  3.4 Shannon-DSC数值求解PDEs  25-27
  3.5 Shannon-DSC方法的误差估计  27-30
4 基于Daubechies尺度函数的δ序列  30-37
  4.1 小波分析理论  30-31
  4.2 基于Daubechies尺度函数的δ-序列的构造  31-34
  4.3 短支集Daubechies-DSC方法数值求解线性抛物型方程  34-37
5 DSC-Wavelet方法求解强对流扩散型PDE  37-47
  5.1 强对流数值解的振荡表现  37-38
  5.2 振荡的小波分析  38-39
  5.3 DSC-Wavelet迭代算法的构造  39-41
  5.4 数值算例  41-43
  5.5 迭代算法的Fourier分析  43-44
  5.6 小结  44-47
结论  47-49
参考文献  49-52
致谢  52-53
个人简历、在学期间的研究成果及发表的论文  53

DSC核在数值求解PDE中的应用

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