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Helmholtz方程Neumann边界问题的一类高精度有限差分格式

作　者: 周坚源
导　师: 韩丹夫
学　校: 浙江大学
专　业: 计算数学
关键词: Poisson方程 Helmholtz方程 HODIE方法诺依曼边界高阶
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 41次
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内容摘要

Helmholtz方程在科学与工程计算中都有非常重要的应用。例如电磁学波的衍射问题,周期作用下的动力系统等都可以当做Helmholtz方程的边界问题来进行求解。这些偏微分方程在通常情况下是不具备精确解的,所以我们只能在尽可能减小误差的前提下得到它的近似解。本文首先介绍了常系数Helmholtz方程目前能到达的最高为六阶的差分格式的构建过程,在构建过程中用到了HODIE方法来对右边项进行离散。并对于Helmholtz方程Neumann边界问题的四阶精度的常用处理方法进行了介绍。本文的主要工作是在此基础上用两种不同的方法将Neumann边界条件的差分离散精度提高到五阶：在第一种方法中,我们首先对Poisson方程的Neumann边界上的导数值用邻近的点进行差分近似,得到一个差分格式。接着将这个格式使用到Helmholtz方程上,分析两者的差异,补足差异的部分来得到。而第二种方法则是通过在Neumann边界上取多个点,利用这些点的一阶导数值是已知的来进行差分近似,得到附近点的一个关系式来构造出一个差分格式。这两种方法都使得Helmholtz方程Neumann边界问题的离散精度得到了提高。文章在最后还给出了几个数值例子来验证了这两种Neumann边界上的处理方法是具有五阶精度的。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-7
第1章绪论  7-11
  1.1 引言  7-9
  1.2 椭圆方程差分格式的创建  9-10
  1.3 文章结构  10-11
第2章 Poisson方程差分格式  11-14
  2.1 大致介绍  11
  2.2 Poisson方程的五点格式  11
  2.3 利用HODIE方法的九点格式  11-13
  2.4 本章小结  13-14
第3章 Helmholtz方程的有限差分格式  14-19
  3.1 准备工作  14
  3.2 二阶及四阶精度差分格式的构造  14-15
  3.3 六阶精度差分格式的构造  15-17
  3.4 应用HODIE方法离散右边项  17-18
  3.5 本章小结  18-19
第4章 Helmholtz方程Neumann边界的差分方法  19-23
  4.1 常用的四阶精度方法  19-21
  4.2 本章小结  21-23
第5章 Neumann边界更高阶离散格式的创建  23-30
  5.1 Poisson方程的尝试  23-25
  5.2 Poisson方程上的实现  25-26
  5.3 Helmholtz方程上的实现  26-29
  5.4 本章小结  29-30
第6章对Neumann边界取用更多点的方法  30-34
  6.1 方法简介  30
  6.2 Poisson方程上的方法  30-31
  6.3 Helmholtz方程上的方法  31-33
  6.4 本章小结  33-34
第7章数值例子  34-37
  7.1 Poisson方程的数值例子  34-35
  7.2 Helmholtz方程的数值例子  35-36
  7.3 本章小结  36-37
参考文献  37-39
致谢  39

Helmholtz方程Neumann边界问题的一类高精度有限差分格式

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