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几类微分自治系统的中心条件与极限环分支

作　者: 潘雪军
导　师: 刘一戎
学　校: 浙江师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 奇点量极限环分支行波解孤立波周期波扭结波
分类号: O175.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 45次
引　用: 1次
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内容摘要

本文主要研究了几类平面多项式微分系统中心焦点的判定及极限环分支,以及一类非线性方程组的行波解,全文有四章组成:第一章对平面多项式微分系统的中心焦点的判定与极限环分支问题的历史背景与研究现状进行了综述,并将本文所做的工作进行了简单的介绍.第二章研究了一类五次系统的奇点量与中心条件,先研究原点的奇点量,在用一同胚变换将无穷远点转变成原点(初等奇点),用计算机代数系统Mathenatics计算了这个多项式系统原点的前6个奇点量和无穷远点前12个奇点量,并由此得到了原点和无穷远点的中心条件.第三章研究了一类拟三次系统的奇点量、中心焦点判定与极限环分支问题,首先通过适当的变换将系统的原点(无穷远点)转化为原点,再通过变换把拟系统转化为复系统,并在计算机上用Mathenatics软件得到了系统原点的前21个奇点量,进一步导出原点为中心的条件和最高阶细焦点(细奇点)的条件,并分别给出了原点和无穷远点分支出4个极限环的实例.第四章,随着社会进步和科学研究的不断深入,在工程实际和自然科学各分支学科甚至社会科学领域涌现出大量非线性数学模型,等待各学科的科学工作者去研究.与线性问题不同的是,非线性问题在一般情况下很难求得精确解.孤立波在内的各类有限行波解的研究是一个非常重要的研究课题.出现了大量研究成果和求解方法和技巧,其中包括反射法、Darboux变换法、Hirota双线性法、tanh法等.这些方法的基本想法就在于通过各种变换技巧将方程化为相对易于求解的形式,特别在某些特定情况下求出方程的孤立子等特殊精确解.迄今国内外数学物理研究者利用这些方法已获得了大量研究成果.然而,这些方法除了确定一些特定情况下的精确解外,对方程的参数变化对其孤子解等特殊有限解存在性的影响却不能给出较完整的回答.国内外近年来的最新研究表明,微分方程定性理论和动力系统分叉理论可以弥补上述求精确解方法在这方面的不足,甚至可以用动力系统的观点对某些已知精确解提供更深刻的认识.本章研究了一类非线性联立薛定谔方程组,运用平面动力系统分支理论,证明该方程组存在光滑孤立波解、扭结波解、无穷光滑周期波解.并在不同参数条件下,给出了光滑孤立波解、扭结波解、无穷光滑周期波解的各类充分条件,并给出求上述所有显示精确行波解的方法.

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-7
目录  7-9
1 绪论  9-12
  1.1 多项式微分自治系统的极限环  9-10
  1.2 拟解析系统的研究背景及近况  10
  1.3 孤立波和孤立子  10-11
  1.4 本文的主要工作  11-12
2 一类五次多项式系统的奇点量与中心条件  12-20
  2.1 引言  12-13
  2.2 预备知识  13-15
  2.3 系统原点的奇点量与中心条件  15-16
  2.4 系统无穷远点的奇点量与中心条件  16-20
3 一类拟三次系统的中心条件与极限环分支  20-28
  3.1 引言  20-21
  3.2 预备知识  21-23
  3.3 系统的奇点量与中心条件  23-24
  3.4 极限环分支  24-28
4 一类非线性联立薛定谔方程的行波解分支  28-34
  4.1 引言  28-30
  4.2 系统的相图分支  30-32
  4.3 由相图确定的孤立波解、扭波解、周期波解  32-34
参考文献  34-37
附录  37-63
  1、计算原点的奇点量  37-43
  2、计算无穷远点的焦点量  43-52
  3、计算拟系统的焦点量  52-63
在学期间的研究成果及发表的论文  63-64
致谢  64-66

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