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一类强局部狄氏过程的Girsanov变换

作　者: 杨亚星
导　师: 陈传钟
学　校: 海南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: Girsanov变换狄氏型扩散过程
分类号: O211.62
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

狄氏型源于数学物理中的经典位势论。九十年代初,马志明等人建立了拟正则狄氏型与右连续马氏过程一一对应的关系,这种对应关系在经典位势论与随机分析间架设了一座桥梁,通过这个桥梁我们可以将一些分析问题与随机分析问题相互转化,从而狄氏型在位势理论、马氏过程、随机微分方程、算法、量子力学、量子场论等许多相关领域都有应用,为许多数学物理问题提供了强有力的理论基础,因此对狄氏型的研究有重要现实意义。对于过程的变换,它一直都是数学家和物理学家共同感兴趣的研究课题。通过变换得到新的过程及其联系的狄氏型,而对新的过程及其联系的狄氏型的性质的研究与讨论,很大程度上丰富了狄氏型与过程的内容。由于Girsanov变换与过程的绝对连续性问题的研究有着密切的联系,许多学者都对它进行研究并取得了许多重要研究成果。设(ε,D(ε))为狄氏型,u∈D(ε),Ntu是关于u(Xt)的Fukushima分解的零能量可加泛函。陈传钟等人在[4,6]中主要讨论了形如的关于Fvkushima分解零能量可加泛函的广义Feynman-Kac半群。研究广义Feynman-Kac半群Ptu的主要困难在于Ntu可能是无界变差的。作者通过Girsanov变换、狄氏型扰动和h-变换三个步骤,成功地将无界变差的问题转化为有界变差的问题。这里的Girsanov变换允许u是无界的,并且经过Girsanov变换后得到新的过程过程X的杀死测度继续存在,从而补充和推广了张土生等在文章[5,25]中的相应结果。但是对于变换后所得到的新过程及其联系狄氏型的相关性质如暂留性、常返性、不可约性等很少讨论。本文主要对一类强局部狄氏型所联系的随机过程的Girsanov变换进行研究,讨论过程变换后得到的新过程X以及它联系的狄氏型(ε,D(ε)的相关性质。首先我们给出当u∈D(ε)有界时,Girsanov变换后型的具体表达式,并证明此时的I没有￡-polar集,进而得到函数的拟连续和一般的连续性等价。我们还得到对于更一般的u∈D(ε),Girsanov变换后狄氏型的表达式。其次通过讨论I的边界点r1,r2,得出当r1,r2均正则时,u是有界的,由前面结论自然有型的表达式,并且证明(ε,D(ε)是L2([r1,r2]；1I·m)上的一个正则、强局部、常返、不可约狄氏型；当r1,r2为可达非正则时,得到此时u仍有界,且(ε,D(ε)是L2(I,m)上的一个正则、强局部、暂留、不可约狄氏型。我们还讨论了当u有界时X的轨道性质。对于满足随机微分方程的扩散过程X(t),其算子定义为这里的L就是本文所研究的一维扩散过程X所联系的狄氏型(ε,D(ε))对应的生成元。算子在研究随机微分方程中有着非常重要的作用,因此也是很多研究者感兴趣的研究对象。文章最后我们通过观察过程经过Girsanov变换前后所联系的狄氏型的变化,给出并严格证明了变换后的过程所联系狄氏型(ε,D(ε)对应生成元的表达式为这一结果体现了狄氏型在随机过程中的应用。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-12
第一章基础知识  12-24
  1.1 马氏过程  12-15
    1.1.1 马氏过程  12-14
    1.1.2 Girsanov变换  14-15
  1.2 狄氏型理论  15-24
    1.2.1 狄氏型定义  15-19
    1.2.2 光滑测度和正的连续可加泛函  19-21
    1.2.3 正则狄氏型的位势理论  21-22
    1.2.4 Fukushima分解  22
    1.2.5 Beurling-Deny公式  22-24
第二章一类强局部狄氏过程的Girsanov变换  24-36
  2.1 问题的提出和主要结果  24-26
  2.2 狄氏型(ε,D(ε))的表达式  26-29
  2.3 狄氏型(ε,D(ε))的性质  29-31
  2.4 过程X的轨道性质  31-32
  2.5 Girsanov变换后型联系的算子  32-36
第三章结束语  36-38
  3.1 本文总结  36
  3.2 工作展望  36-38
参考文献  38-42
攻读硕士学位期间取得的研究成果  42-44
致谢  44-45
附件  45

一类强局部狄氏过程的Girsanov变换

内容摘要

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