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关于随机均衡约束数学规划的若干研究

作　者: 刘永朝
导　师: 林贵华；徐慧福
学　校: 大连理工大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 随机均衡约束数学规划样本均值逼近正则化收敛性稳定性分析
分类号: O221
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

均衡约束数学规划问题(Mathematical programs with equilibrium constraints简称MPEC)在经济均衡、博弈论、工程设计等方面有着广泛的应用.在过去的几十年中,MPEC无论是在理论还是算法方面,学者们都进行了深入研究.在实际应用中,决策者制定决策时常常受到不确定因素的影响.于是随机均衡约束数学规划问题(SMPEC)应运而生.过去的十年里,人们主要研究了两类SMPEC模型.一类是Here-and-Now模型；另一类是下层Wait-and-See模型.在本文,我们从理论,算法,模型三方面进一步研究SMPEC.(1)在文献[54]中,Meng和Xu在数值实验部分用与样本均值方法相集合的正则化方法求解Here-and-Now型SMPEC.但是，他们并未从理论上证明算法的收敛性.在第三章,我们从理论上完善上述算法.我们不但研究了最优解,最优值的收敛性,同时我们还证明在一定条件下，SAA-正则问题的稳定点以概率1收敛到原SMPEC的C-稳定点,M-稳定点或者B-稳定点.(2)在第四章,我们提出了求解Here-and-Now型SMPEC的样本均值部分精确罚方法.在理论方面,我们证明了样本均值罚问题的最优解或稳定点以概率1收敛到原问题的最优解或稳定点,并且在一定条件下,是以指数速度收敛到概率1.在证明算法收敛过程中,我们假定原问题满足MPEC-NNAMCQ,也就是说原问题可以不满足MPEC-LICQ.但是,趋近问题在任意可行点处满足MPEC-LICQ.由于很多求解MPEC算法的稳点性都依赖于MPEC-LICQ,因此这一点非常重要.与[8,43,54]相比,在证明收敛性时我们所需的条件更弱.在数值实验方面,我们用5个数值算例辅助说明了算法的可行性.同时,所需求解的优化问题可行域不依赖于样本数.这将为程序执行带来更多方便.(3)在第五章,我们给出了下层Wait-and-See型SMPEC问题的一个标准的NLP问题逼近.随后我们把逼近问题看成是原问题的扰动,进行了稳定性分析.我们分别研究了下层问题目标值函数的Lipschitz连续性,最优解集和稳定点集的外半连续性；上层问题的最优解集和稳定点集的外半连续性.不同于[45,78,90],我们不要求互补问题有唯一解.同时我们也研究了当概率测度(概率分布函数)扰动时最优解集,最优值,稳定点集的稳定性.据我们所知,这是第一次将相对于随机变量概率分布的稳定性研究应用到SMPEC邻域.最后我们讨论了概率测度扰动的一个特例，经验概率测度逼近原概率测度(样本均值方法).我们证明了逼近问题的最优值和稳定点以概率1分别收敛到原问题的最优值,和M-(C-,S-)稳定点.(4)在第6章,我们提出了一类新的SMPEC模型(Mathematical program with hybrid equilibrium constraint,简称SMPHEC)新模型可以看作是Here-and-Now模型和Wait-and-See模型的混合.首先我们用实际例子说明了SMPHEC模型的应用背景.接着,在相对于每种随机情形的互补约束为强单调问题时,我们用隐式方法将SMPHEC转换为Here-and-Now型SMPEC.最后我们用与样本均值相结合的光滑化罚方法求解SMPHEC.在一定条件下，我们证明了算法最优解及稳定点的收敛性.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
1 绪论  10-16
2 基础知识  16-24
  2.1 集值映射,次微分,法锥  16-19
  2.2 MPEC基本定义  19-23
  2.3 随机集值映射与样本均值方法  23-24
3 求解Here-and-Now型SMPEC的样本均值正则方法的收敛性分析  24-34
  3.1 样本均值正则方法  24
  3.2 最优解的收敛性  24-26
  3.3 稳定点的收敛性  26-33
  3.4 小结  33-34
4 求解Here-and-Now型SMPEC的样本均值部分精确罚方法  34-59
  4.1 SMPEC与样本均值部分精确罚  34-35
  4.2 SMPEC与样本均值部分精确罚问题的关系  35-43
    4.2.1 精确罚因子的存在性  35-41
    4.2.2 稳定点的等价性  41-43
  4.3 目标函数的一致收敛性  43-49
  4.4 算法收敛性分析  49-51
    4.4.1 最优解的收敛性  49-50
    4.4.2 稳定点的收敛性  50-51
  4.5 光滑逼近问题的收敛性分析  51-54
  4.6 数值计算  54-59
5 下层Wait-and-See型SMPEC稳定性研究  59-91
  5.1 引言  59-60
  5.2 NLP-正则及稳定性分析  60-69
    5.2.1 NLP-正则  60-62
    5.2.2 最优值函数及最优解集的连续性  62-64
    5.2.3 最优值函数的Lipschitz连续性  64-69
  5.3 稳定点的稳定性及最优值函数的Lipschitz性质  69-81
    5.3.1 下层问题稳定点  69-75
    5.3.2 上层问题稳定点  75-79
    5.3.3 t=0处最优值函数的Lipschitz连续性  79-81
  5.4 相对概率测度的稳定性分析  81-85
  5.5 样本均值逼近  85-91
6 随机混合互补约束数学规划  91-107
  6.1 SMPEC问题的新模型  91
  6.2 新模型的实际应用  91-93
  6.3 求解新模型的算法  93-95
  6.4 算法收敛性分析  95-102
    6.4.1 最优解的收敛性  95-97
    6.4.2 稳定点的收敛性  97-102
  6.5 数值试验  102-104
  6.6 小结  104-107
结论与展望  107-110
参考文献  110-119
攻读博士学位期间学术论文完成情况  119-120
创新点摘要  120-122
致谢  122-123
作者简介  123-125

关于随机均衡约束数学规划的若干研究

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