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反基础公理的模型研究

作　者: 杜文静
导　师: 李娜
学　校: 南开大学
专　业: 逻辑学
关键词: 反基础公理非良基集合外延公理可构成模型构造性模型
分类号: B812
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
下　载: 34次
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内容摘要

在经典的公理化集合论系统ZF中,有一条刻画集合性质的公理。这条公理通常被称作基础公理、良基公理或正则公理,记作FA。在将FA加入ZF之前,循环集合在ZF中是否存在是不能断定的。将FA加入ZF之后,它不但排除了罗素悖论还使得经典集合论中的所有对象都是良基的。同时,它也排除了满足循环条件x∈x和∈-无穷递降链条件构成的集合(这类集合被称作非良基集合)。基础公理FA把ZF的论域限制到整个良基集合的范围中。因此,经典的公理化集合论系统ZF不能很好地刻画循环现象。然而,循环现象无处不在。例如,自然界中白天和黑夜的循环现象；年复一年的春、夏、秋、冬四季的循环现象；交通灯的颜色由红、黄、绿三色交替的循环现象。再如,计算机科学中自动控制系统和传递系统的循环；哲学中公共知识的“知道”结构循环；语义学中说谎者悖论的自我指称循环。为循环现象或者非良基集合建立模型是20世纪后期逻辑学家、数学家的一项重要工作。1988年阿克采尔提出了反基础公理AFA,将ZF中的基础公理FA替换为反基础公理AFA得到了非良基集合论系统ZFC-+AFA,并为它建立了模型,从而创立了非良基集合理论。由于非良基集合论可以作为循环现象的模型,因此,它们在哲学、数学、经济学、逻辑学、语言学以及理论计算机科学中都具有十分重要的作用。本文在借鉴和吸纳国内外研究成果的基础上,梳理了阿克采尔的非良基集合论的基本理论,讨论了非良基集合的外延性。特别的,利用哥德尔的可构成模型L,采用阿克采尔的方法,为含有反基础公理AFA的集合论系统ZFC-+AFA和含有反基础公理族AFA~的集合论系统ZFC-+AFA~建立了可构成模型；此外,在林德斯姆(Lindstrom)工作的基础上,仍然采用阿克采尔的方法,建立了含有反基础公理族AFA~的集合论系统ZFC-+AFA~的构造模型。这些工作对丰富集合论理论具有一定的意义,并对逻辑学发展有一定的促进作用。总的来说,本文的主要工作包含以下四方面：第一,详细的论证了基础公理FA与反基础公理AFA之间的关系,说明了FA的局限性,解释了AFA取代FA的原因,并介绍了AFA产生的过程。第二,利用典范图提出了集合全域B中的外延公理,并且系统讨论了集合全域V~的外延性问题,还列举了许多例子来说明如何判断两个非良基集合相等的问题。另外,给出了五种集合全域之间包含关系的一个证明,即WF(?)A(?)S(?)F(?)B,说明了非良基集合全域是标准集合论全域(迭代集合全域WF)的扩张。第三,以哥德尔可构成公理V=L为基础,在可构成集合全域下,重新定义了装饰、系统映射、正则互模拟等概念,采用阿克采尔的方法,分别建立了ZFC-+AFA和ZFC-+AFA~的可构成模型。当正则互模拟-分别取≌t和≌*时,就得到了ZFCˉ+ SAFA(将基础公理FA替换为斯考特的反基础公理SAFA后的得到的非良基集合论系统)和ZFCˉ+ FAFA(将基础公理FA替换为费思勒的反基础公理FAFA后的得到的非良基集合论系统)的可构成模型。第四,在林德斯姆(Lindstrom)为反基础公理AFA建立构造模型的基础上,利用玛汀洛夫(Martin Lof)类型论,为同一公理族AFA~建立了构造模型。当正则互模拟～分别取≌t和≌*时,就得到了ZFCˉ+SAFA和ZFCˉ+FAFA的构造模型。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-12
第一章引言  12-16
第二章基础公理FA与反基础公理AFA  16-25
  第1节关于基础公理FA之争  16-19
  第2节基础公理FA的局限性  19-21
    2.2.1 流  19-20
    2.2.2 无穷树  20-21
  第3节反基础公理AFA  21-25
    2.3.1 AFA的提出  21-22
    2.3.2 AFA的等价形式  22-23
    2.3.3 AFA的一致性  23-25
第三章四种反基础公理  25-54
  第1节集合的图  25-30
  第2节 Boffa公理:BA_1  30-31
  第3节 Azcle反基础公理:AFA  31-41
    3.3.1 互模拟  32-37
    3.3.2 系统映射  37-40
    3.3.3 AFA的等价形式  40-41
  第4节公理AFA的推广:AFA～  41-45
  第5节公理AFA的变体:FAFA和SAFA  45-50
    3.5.1 Finsler公理:FAFA  45-47
    3.5.2 Scott公理:SAFA  47-50
  第6节公理AFA、FAFA和SAFA的关系  50-54
第四章非良基集合全域及其外延性公理  54-64
  第1节 Bofaf集合全域B及其外延性  55-57
  第2节非良基集合全域V~～及其外延性  57-62
  第3节非良基集合全域与数系扩张的类比  62-64
第五章反基础公理的可构成模型  64-78
  第1节公理AFA的可构成模型  64-73
  第2节公理族AFA~～的可构成模型  73-78
第六章反基础公理的构造性模型  78-95
  第1节构造性集合论CZF  78-84
  第2节 AFA的构造模型  84-92
  第3节公理族AFA~～的构造模型  92-95
参考文献  95-100
致谢  100-101
个人简历  101

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