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一类高阶微分方程边值问题的解

作　者: 陈丽珍
导　师: 李福义
学　校: 山西大学
专　业: 基础数学
关键词: 非线性微分方程组正解不动点定理强单调映象原理临界点理论
分类号: O175.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

本文主要研究高阶微分方程边值问题解的存在性与多重性。论文分两章对一类高阶微分方程两点边值问题进行了讨论。在第一章中，我们主要利用不动点定理研究四阶非线性微分方程组正解的存在性，我们对f，g进行一些适当的限制，得到了边值问题正解的存在性。在第二章中，我们主要利用强单调映象原理和临界点理论研究一类高阶微分方程组两点边值问题解的存在性与多解性。我们对泛函F进行一些适当的限制得到了高阶微分方程组边值问题解的存在性，唯一性，以及多解性。下面，我们对本文的主要结果具体阐述如下。在第一章中，我们主要讨论以下四阶非线性微分方程组正解的存在性（BVP）：其中f，g∈C（[0，1]×R₊⁴，R₊），R₊=[0，+∞)。设对g可同样定义g₀，g_∞，g⁰，g^∞。主要结论如下：定理1．1．1设下面条件满足：（H₁）f₀=f_∞=g₀=g_∞=+∞，（H₂）存在ρ＞0，使得f（t，w，z，u，v）＜4ρ，g（t，w，z，u，v）＜4ρ，（t，w，z，u，v）∈[0，1]×[0，ρ／8]×[0，ρ／8]×[0，ρ]×[0，ρ]，则边值问题（1．1．1）至少存在两个正解（u₁，v₁），（u₂，v₂），使得0＜‖（u₁，v₁）‖＜ρ＜‖（u₂，v₂）‖。定理1．1．2设下面条件满足：（H₃）f⁰=f^∞=g⁰=g^∞=0，且对任何R＞0，f，g在[0，1]×R¹×R¹×[0，R]×[0，R]上有界；（H₄）存在ρ₁＞0，使得在D₁上成立f（t，w，z，u，v）＞16/3ρ₁，g（t，w，z，u，v）＞16/3ρ₁，其中D₁={（t，w，z，u，v）∶t∈[1／4，3／4]，w+z∈[11／1536ρ₁ρ₁／8]，u+v∈[ρ₁／4，ρ₁]}。则边值问题（1．1．1）至少存在两个正解（u₁，v₁），（u₂，v₂），使得0＜‖（u₁，v₁）‖＜ρ₁＜‖（u₂，v₂）‖。在第二章中，我们主要讨论以下高阶微分方程组两点边值问题：解的存在性，唯一性及多解性，其中F∈C¹（R²，R）。主要结论如下：定理2．1．1若存在α∈[0，π^2m)，使得则方程组（2．1．1）在C^2m[0，1]×C^2m[0，1]中有唯一解。定理2．1．2设F（u）≤au²+b|u|^2-γ+c，u∈R²，其中α∈(0，π^2m／2)，γ∈（0，2），b，c＞0，则边值问题（2．1．1）在C^2m[0，1]×C^2m[0，1]中至少有一个解。定理2．1．3设F满足条件：（A₁）存在μ∈（0，1／2）及R＞0，使得F（u）≤μ▽F（u）·u，|u|≥R；（A₂） lim sup_u→0 F（u）／|u|²＜π^2m／2及lim inf_|u|→∞F（u）／|u|²＞π^2m／2。则边值问题（2．1．1）在C^2m[0，1]×C^2m[0，1]中至少有一个非零解。定理2．1．4设F满足条件：（A₃）存在μ∈（0，1／2）及R＞0，使得0＜F（u）≤μ▽F（u）·u，|u|≥R；（A₄）lim_|u|→0F（u）／|u|²＜π^2m／2。则边值问题（2．1．1）在C^2m[0，1]×C^2m[0，1]中至少有一个非零解。定理2．1．5设F是偶函数，即F（-u）=F（u），u∈R²。进一步假设定理2．1．3中条件（A₁）成立，并且满足：则边值问题（2．1．1）有无穷多个解。

全文目录

中文摘要  6-8
英文摘要  8-10
第一章四阶非线性微分方程组正解的存在性  10-18
  §1.1 引言  10
  §1.2 预备知识  10-12
  §1.3 定理的证明  12-18
第二章一类高阶方程组边值问题解的存在性与多解性  18-28
  §2.1 引言  18
  §2.2 预备知识  18-21
  §2.3 定理的证明  21-28
参考文献  28-30
发表文章目录  30-31
致谢  31-32

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