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常微分方程理论在数学建模中的简单应用

作　者: 方芳
导　师: 吴然超
学　校: 安徽大学
专　业: 基础数学
关键词: 常微分方程常微分方程模型稳定性常微分方程建模数学模型平衡点
分类号: O141.4
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

众所周知,自然界中一切物质都按照自身的规律在运动和演变,不同物质的运动规律总是在时间和空间中运动着的,虽然物质的运动形式千差万别,但我们总可以找到它们共性的一面,即具有共同的量的变化规律。为了能够定性和定量的研究一些特定的运动和演变过程,就必须将物质运动和演变过程中相关的因素进行数学化。这种数学化的过程就是数学建模的过程,即根据运动和演变规律找出不同变量之间互相制约、互相影响的关系式。由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式,即微分方程。微分方程描述的是物质运动的瞬时规律。将常微分方程应用于数学建模是因为常微分方程理论是用数学方法解决实际问题的强有力的工具,是一门有着重要背景应用的学科,具有悠久的历史,系统理论日臻完善,而且继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题中。作者通过查阅近几十年来的参考文献或书籍资料,对常微分方程在数学建模中的应用进行了详尽的综述。主要内容包括以下几个方面：1.数学模型和常微分方程的发展情况。介绍了数学模型在不同学科与针对不同实际问题而产生的不同的定义,以及根据不同标准进行的详细分类；简要给出了数学建模的具体步骤以及每个步骤中需要解决的关键问题,其中采用的方法中最主要的就是使用常微分方程理论；最后通过讨论如何在雨中行走才能减少淋雨的程度这一实例给出了如何使用数学模型结合常微分方程理论解决实际问题的示范。2.详细介绍了常微分方程建模的原理、主要方法和步骤。介绍了常微分方程建模的具体步骤,几种主要方法和注意事项；给出了一阶常微分方程建模的两个典型实例,打假问题模型和商业广告模型,通过这些实例详细演示了常微分方程建模的步骤与方法在实际问题中的应用；第二,介绍了一阶非线性常微分方程模型,研究了最速降线和单种群密度制约两个经典问题的数学模型的建立。将数学建模的几个主要步骤具体应用到实际问题中得到了基于常微分方程的数学模型。第三介绍了二阶常微分方程模型,包括追击问题和振动问题的数学模型建立,构建了二阶的追击运动轨迹模型和弹簧振子的二阶线性微分方程模型；并考虑共振问题中有阻力和无阻力的两种应用。3.介绍了常微分力程模型中的稳定性问题。首先介绍了常微分方程中的稳定性基本理论,分别介绍了一维和二维动力系统中的平衡点与稳定性理论,以及非线性系统线性计时系统的稳定性；其次介绍了捕鱼持续收获模型和种群相互竞争模型的构建,重点进行了模型的稳定性分析与问题的求解。

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-8
第一章绪论  8-9
第二章数学建模  9-14
  §2.1 数学建模的基本概念  9-10
  §2.2 数学建模的方法与步骤  10-12
  §2.3 数学建模示例  12-14
第三章常微分方程建模  14-37
  §3.1 常微分方程建模概述及建模方法  14-16
    §3.1.1 常微分方程建模概述  14
    §3.1.2 常微分方程建模的主要几种方法  14-15
    §3.1.3 应用常微分方程建模的注意事项  15-16
  §3.2 一阶线性常微分方程模型  16-22
    §3.2.1 打假问题  16-19
    §3.2.2 商品广告  19-22
  §3.3 一阶非线性常微分方程模型  22-27
    §3.3.1 最速降线  22-24
    §3.3.2 逻辑斯蒂(Logistic)方程模型  24-27
  §3.4 二阶常微分方程模型  27-37
    §3.4.1 追击问题  27-30
    §3.4.2 振动、共振和消振的线性微分方程模型  30-37
第四章关于稳定性问题的常微分方程模型  37-47
  §4.1 常微分方程稳定性理论简介  37-41
    §4.1.1 一维动力系统的平衡点与稳定性  38-39
    §4.1.2 二维动力系统的平衡点与稳定性  39-41
  §4.2 捕鱼业的持续收获模型  41-44
  §4.3 种群的相互竞争数学模型  44-47
第五章小结  47-48
参考文献  48-51
致谢  51-52
读研期间科研情况  52

常微分方程理论在数学建模中的简单应用

内容摘要

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