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变分不等式及不动点问题

作　者: 邓传现
导　师: 黄发伦
学　校: 四川大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 变分不等式 不动点 迭代逼近算法 预校正算法 辅助原理技巧 几乎渐近非扩张映象 收敛性 随机模糊映象 模糊随机共同不动点
分类号: O178
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要


本文就如下几个问题进行了研究：(1)随机隐拟变分不等式解的存在性及迭代逼近算法；(2)广义非线性混合拟似变分不等式及预校正迭代算法；(3)单个几乎渐近非扩张型映象的不动点以及多个随机模糊映象的共同随机模糊不动点的迭代逼近算法。全文共分五章。在第一章《导论》中引入了变分不等式的概念，介绍了变分不等式的发展。变分不等式理论的研究主要涉及两个基本问题：解的存在唯一性和解的迭代逼近算法。其中解的存在唯一性理论已经发展得较为成熟，所以，我们着重研究了变分不等式解的迭代逼近算法。除了变分不等式以外，我们还介绍了映象的不动点的概念，以及不动点理论的一些应用。映象的不动点问题，一方面映象的概念得到不断的推广，经历了压缩映象，非扩张映象，渐近非扩张映象，几乎渐近非扩张型映象的发展过程。另一方面，映象的不动点的迭代逼近算法也得到了不断的发展，已获得了很多有效可行的算法。映象或映象族的不动点的迭代逼近算法问题是不动点理论的重要组成部分，得到很多学者的研究，产生了很多迭代逼近算法。在第二章《随机隐拟变分不等式解的存在性及算法》中，考虑了变分不等式的随机化，在实可分Hilbert空间中引入了一类新的带随机集值映象的广义随机隐拟变分不等式。我们考虑了这类变分不等式解的存在性及迭代逼近算法问题。利用Huang和Cho的结果，我们构造了求解随机隐拟变分不等式解的随机迭代算法，并证明了由该随机迭代算法生成的序列收敛于所给随机隐拟变分不等式的解。在第三章《预校正算法和广义非线性混合拟似变分不等式》中，由于投影算法对解广义非线性混合拟似变分不等式非常困难，Noor提出了一种新的迭代算法：预校正算法。虽然，Noor用这类方法研究了许多变分不等式，然而，他的一些相关文章的主要结果是错误的。因此，如何用这种迭代算法来求解广义非线性混合拟似变分不等式问题，是有意义的．为此，我们引入了一类新的概念：广义混合η-强单调映象。这种单调性比强单调性和Lipschitian连续性都要弱。然后，利用辅助原理技巧，构造了求解广义非线性混合拟似变分不等式问题的迭代算法。在合适的条件下，我们分别在Hilbert空间和有限维空间的框架下，证明了由预校正算法生成的迭代序列收敛于相应的广义非线性混合拟似变分不等式的解。在第四章《随机模糊映象共同不动点的随机迭代算法》中，我们将随机理论和模糊理论有机地结合起来，引入了随机模糊映象，随机模糊增生，随机模糊伪压缩及其共同随机模糊不动点等概念。本章中，我们引入了由三个随机模糊映象构成的映象族，并考虑该映象族的共同不动点的迭代逼近问题。由Himmelberg的结果，我们构造了该映象族共同不动点的随机迭代算法。在合适的条件下，我们证明了由该算法生成的迭代序列收敛于随机模糊映象族的共同不动点。在第五章《一类新的几乎渐近非扩张型映象不动点的三步迭代逼近问题》中，我们在Banach空间中引入了一类新的p-几乎渐近非扩张型映象。一般的Lipscitz映象，非扩张映象，渐近非扩张映象，乃至几乎渐近非扩张型映象，都是p-几乎渐近非扩张型映象的特殊类型．为求解这类映象的不动点问题，我们构造了修正的具误差的三步迭代算法。在适当的条件下，我们证明了由修正的具误差的三步迭代算法生成的迭代序列收敛于所给几乎渐近非扩张型映象的不动点。

全文目录


摘要  2-5
Abstract  5-8
目录  8-10
第一章 导论  10-17
第二章 随机隐拟变分不等式解的存在性及算法  17-26
  2.1 引言  17-18
  2.2 随机隐拟变分不等式  18-21
  2.3 随机隐拟变分不等式解的迭代逼近算法  21-22
  2.4 随机隐拟变分不等式解的存在唯一性及迭代序列的收敛性  22-26
第三章 预校正算法和广义非线性混合拟似变分不等式  26-37
  3.1 引言  26-27
  3.2 广义非线性混合拟似变分不等式  27-30
  3.3 预校正迭代算法  30-34
  3.4 广义非线性混合拟似变分不等式迭代序列的收敛性  34-37
第四章 随机模糊映象共同不动点的随机迭代算法  37-50
  4.1 引言  37-38
  4.2 随机模糊映象  38-42
  4.3 随机迭代算法  42-44
  4.4 共同不动点定理  44-50
第五章 一类新的几乎渐近非扩张型映象不动点的三步迭代逼近问题  50-66
  5.1 引言  50-51
  5.2 几乎渐近非扩张型映象  51-52
  5.3 三步迭代逼近  52-56
  5.4 三步迭代序列的收敛性  56-66
主要研究内容与创新点  66-68
参考文献  68-78
作者在攻读博士学位期间的工作目录  78-80
致谢  80

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 不等式及其他
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