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自然界临界现象的数值模拟及其应用

作　者: 王浩
导　师: 王宗笠
学　校: 重庆大学
专　业: 理论物理
关键词: Ising模型重正化 Monte-Carlo 元胞自动机岩石破坏自组织临界性
分类号: O414.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2005年
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内容摘要

相变和临界现象是复杂性科学中一个重要的领域,相变是一种突变,它是指系统从无序态转变到有序态,或者相反。主要分为平衡相变和非平衡相变两大类,气液相变、顺磁-铁磁相变等属平衡相变,激光、贝纳特现象等属非平衡相变,从安德鲁斯发现临界点到现在已经取得了不少卓越的研究成果。基于前人的研究,本文介绍了平衡相变中用于研究顺磁-铁磁相变的Ising模型及其严格解;介绍了处理相变和临界现象的三种方法,L.Landau提出的平均场理论,K.wilson开创的重正化群与标度变换相结合的方法以及数值模拟方法。本文首先用重正化群方法处理了平衡相变的Ising模型,计算了不同格点数的正方形元胞模型的临界指数并进行对比,发现Kadanoff 元胞的大小对元胞间相互作用的近似处理影响较大。如果选择较小的元胞,一级累积展开的效果不理想;如果选择较大元胞,元胞间相互作用相对减小。但随着元胞格点的增加,内部自由度增多,计算量也大大增加了。本文还将重正化群方法用于处理岩石失稳破坏的非平衡相变问题中,得到了岩石材料失稳破坏的理论临界点及岩体稳定性的发展方向,并与实验结果进行了对比。证明重正化破坏模型能较准确地模拟岩石的失稳破坏,有效地推测出破坏临界点,得到了判断岩石稳定状态的判据。此外,用两种数值模拟方法分别对平衡相变和非平衡相变进行模拟。用Monte-Carlo 方法对Ising 模型进行模拟,得到磁化强度随温度变化的规律,求出临界温度。并研究了不同温度下,不同初始自旋构形系统的相关规律。得到低温磁化的磁畴分布。最后,用元胞自动机模拟了岩石失稳破坏的非平衡相变。构造了一个能全面有效地反映岩石材料失稳破坏演化过程中的非均质性、各向异性、能量传递与耗散、应力转移等变化特征的“完整”元胞自动机模型。得到了能量传递规模及其出现次数(几率)服从幂律规则,证明岩石损伤破坏具有自组织临界性。

全文目录

中文摘要  4-6
英文摘要  6-12
1 前言  12-16
2 相变及临界现象  16-22
  2.1 相变及临界现象  16-20
  2.2 小结  20-22
3 Ising 模型及其严格解简介  22-30
  3.1 伊辛模型  22-24
  3.2 一维Ising 模型的严格解  24-26
  3.3 二维Ising 模型严格解的主要结果  26-28
  3.4 二维以上的Ising 模型  28-30
4 处理临界现象的几种方法  30-46
  4.1 平均场方法  30-31
  4.2 重正化群理论  31-38
    4.2.1 标度理论  31-32
    4.2.2 Widom 的标度理论  32-34
    4.2.3 Kadanoff 的标度理论  34-36
    4.2.4 Wilson 的重正化群理论  36-38
  4.3 数值模拟  38-44
    4.3.1 Monte-Carlo 方法  38-40
    4.3.2 元胞自动机模拟方法  40-44
  4.4 小结  44-46
5 重正化方法处理临界问题  46-68
  5.1 重正化方法处理正方格子的伊辛模型  46-57
    5.1.1 四点集团的重正化变换  46-50
    5.1.2 九点集团的重正化变换  50-54
    5.1.3 五点集团的重正化变换  54-56
    5.1.4 Ising 模型结果分析  56-57
  5.2 重正化方法在岩石失稳破坏中的应用  57-67
    5.2.1 岩石及岩石的失稳破坏的基本理  57-58
    5.2.2 关于岩石失稳破坏的几点假设  58
    5.2.3 建立岩石失稳破坏的二维重正化模型  58-63
    5.2.4 重正化模型预测岩石破坏的实验验证  63-64
    5.2.5 岩石失稳破坏重正化模型的三维简单推广  64-67
  5.3 小结  67-68
6 正则系综的 Monte-Carlo 模拟  68-86
  6.1 Ment-Crtlo 模拟基础  68-72
    6.1.1 随机变量及其分布  68-69
    6.1.2 Monte-Carlo 方法中两个重要的定理  69-70
    6.1.3 Markov 链  70
    6.1.4 细致平衡条件  70-71
    6.1.5 Metropolis 算法  71
    6.1.6 Metropolis 抽样的基本步骤  71-72
  6.2 Monte-Carlo 模拟的细节讨论  72-73
    6.2.1 确定一个晶格和晶格的尺寸  72
    6.2.2 指定一个初始位形  72
    6.2.3 确定适当的边界条件  72-73
    6.2.4 选取产生一系列状态的方式  73
  6.3 Ising 模型的Monte-Carlo 模拟  73-83
    6.3.1 思想方法及步骤  73-74
    6.3.2 模拟结果及分析  74-83
  6.4 小结  83-86
7 非平衡相变的元胞自动机模拟  86-98
  7.1 自组织临界性  86-87
    7.1.1 幂律  86
    7.1.2 自组织临界性及其研究现状  86-87
  7.2 BTW 沙堆模型  87-90
    7.2.1 一维BTW 沙堆模型动力学  88-89
    7.2.2 二维BTW 沙堆模型的动力学表示  89-90
  7.3 岩石破坏模型  90-97
    7.3.1 岩石破坏模型的建立  90-91
    7.3.2 模拟结果及讨论  91-96
    7.3.3 与砂岩单轴加载试验进行比较  96-97
  7.4 小结  97-98
8 总结  98-100
  8.1 论文工作总结  98-99
  8.2 研究工作展望  99-100
致谢  100-102
参考文献  102-106
附录:作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录  106-108
独创性声明  108
学位论文版权使用授权书  108

自然界临界现象的数值模拟及其应用

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