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两平面凸域的对称混合等周不等式

作　者: 岳双珊
导　师: 周家足
学　校: 西南大学
专　业: 基础数学
关键词: 凸域对称混合等周亏格对称混合等周不等式 Bonnesen对称混合等周不等式上界
分类号: O186.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

本文的主要工作是拓展包含经典的等周不等式,Bonnesen等周不等式在内的几何不等式.第一部分：著名的平面等周不等式是最早用基本的几何不变量来刻画平面几何图形的几何不等式.即平面上固定周长的简单闭曲线中,圆所围的面积最大.换句话来说,平面上固定面积的区域中,圆盘的周长最小.用数学语言表述为(等周不等式)欧氏平面R2中域K的面积A,周长P满足不等式P2-4πA≥0, (1)等号成立的充要条件是K为圆盘.加强的等周不等式是以下是著名的Bonnesen等周不等式(Bonnesen等周不等式)欧氏平面R2中域K的面积A,周长P,包含于K内的最大内接圆半径为ri,包含K的最小外接圆半径为re,则有P2-4πA≥π2(re-ri)2, (2)等号成立的充要条件是K为圆盘.J.Zhou用积分几何方法揭示了一系列的类似Bonnesen不等式并给出了统一的证明.设K为平面上面积为A,周长为P的域,ri和re分别为K的最大内接圆半径和最小外接圆半径,设ri≤r≤re,则下列不等式成立P2-4πA≥(P2-2πr)2, P2-4πA≥(P2-2A/r)2, P2-4πA≥(A/r-πr)2,等号成立的充要条件是K为圆盘.我们主要研究平面上两个凸域的对称混合等周不等式(the symmetric mixed isoperimetric inequality)设Kk(k=i,j)为欧氏平面R2中面积为Ak,周长为Pk的域,它们的对称混合等周亏格(the symmetric mixed isoperimetric deficit)被J.Zhou定义为σ(Ki,Kj)=Pi2Pj2-16πAiAj. (4)根据周家足的思想方法和积分几何包含测度理论,我们利用欧氏平面上一个域包含另一个域的包含测度把平面上的Bonnesen等周不等式和Bonnesen不等式拓广,得到Bonnesen对称混合等周不等式及加强形式和Bonnesen对称混合不等式,主要得到以下定理定理1.设Kk(k=i,j)为欧氏平面R2中面积为Ak的凸域,其边界(?)Kk是简单闭曲线,周长为Pk,则我们有定理2.设Kk(k=i,j)为欧氏平面R2中面积为Ak的凸域,其边界(?)Kk是简单闭曲线,周长为Pk,则我们有Pi2Pj2-16π2AiAj≥4π2Ai2(tM-tm)2+(2πAitm+2πAitM-PiPj)2. (6)当Ki取为单位圆盘时即为P2-4πA≥π2(re-ri)2+(πre+πri-P)2. (7)这是著名的Bonnesen等周不等式(2)的加强.第二部分：记△=P2-4πA,则△为等周亏格,它的上界是几何中一个十分有趣的问题,欧氏平面上等周亏格的上界估计有下面的定理设K为欧氏平面上面积为A,周长为P的域,ρm和ρM分别为(?)K的最小曲率半径和最大曲率半径,则下列不等式成立P2-4πA≤π2 (ρM-ρm)2, (8)等号成立的充要条件为ρm=ρM,即K为圆盘.以上结果由Bottema于1933年得到.1955年Pleijel得到Bottema不等式(8)的加强,即P2-4πA≤πr(4-π)(ρM-ρm)2 (9)等号成立的充要条件为ρm=ρM,即K为圆盘.本文我们得到了欧氏平面上的对称混合等周亏格的上界.定理3.设Kk(k=i,j)为欧氏平面R2中面积为Ak的凸域,其边界(?)Kk是简单闭曲线,周长为Pk,则我们有Pi2Pj2-16π2AiAh≤4π2PiPj(tMRi2-tmri2). (10)其中tm=max{t:g(tki)(?)Kj,g∈G},tM=min{t:g(tKi)(?)Kj,g∈G}等号成立的充分必要条件是Ki和Kj均为圆盘.

全文目录

摘要  5-8
ABSTRACT  8-11
第1章引言  11-14
  1.1 综述  11
  1.2 本文的工作  11-14
第2章预备知识  14-22
  2.1 欧氏空间凸集基本概念  14-15
    2.1.1 凸集及凸曲线  14
    2.1.2 支持线及其存在性  14
    2.1.3 凸集的支持函数和宽度函数  14-15
  2.2 欧氏平面上几何元素集的测度  15-17
    2.2.1 点集的测度  15-16
    2.2.2 直线集的测度  16-17
  2.3 欧氏平面积分几何基本公式  17-22
    2.3.1 平面运动群  17-18
    2.3.2 G上的微分形式  18-19
    2.3.3 运动密度  19-20
    2.3.4 Poincare运动公式平和Blaschke基本运动公式  20-22
第3章两平面凸域的对称混合等周亏格  22-31
  3.1 两平面凸域的对称混合等周不等式  22-25
    3.1.1 平面上一凸域包含另一凸域的充分条件  22-24
    3.1.2 两平面凸域的对称混合等周不等式  24-25
  3.2 两平面凸域的Bonnesen对称混合不等式  25-28
    3.2.1 Bonnesen对称混合不等式  25-26
    3.2.2 Bonnesen对称混合等周不等式及加强形式  26-28
  3.3 两平面凸域的对称混合等周亏格的上界估计  28-31
结语  31-32
参考文献  32-36
攻读硕士学位期间完成及发表的学术论文  36-37
感谢  37

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