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精确逼近集的测度与维数

作　者: 梁慧
导　师: 吴军
学　校: 华中科技大学
专　业: 基础数学
关键词: 维数测度逼近
分类号: O156
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 5次
引　用: 0次
阅　读: 论文下载

内容摘要

丢番图逼近是数论的一个历史悠久的重要分支.近年来,这一分支取得了不少引人注目的进展.丢番图逼近的内容非常丰富,而实数的有理逼近是丢番图逼近研究的核心内容.实数的有理逼近与连分数有密切联系,一个连分数的展开,往往就是具体构造有理逼近解的过程,这使得连分数的研究成为研究实数的有理逼近的一个重要的工具.自19世纪70年代,Mandelbrot提出的分形几何在解决经典几何无法处理的问题中显现出巨大作用,使其作为一门新兴学科引起了科学界的极大关注.作为分形几何基本内容的测度和维数理论也因此受到越来越多的重视.令Ψ：R>0→R>0是一个减函数,x→x2Ψ(x)是非增的.定义集合κ(Ψ)：＝{ξ∈R：｜ξ-p/q｜<Ψ(q)对无穷多个p/q成立}.Exact(Ψ)：={ξ∈R：｜ξ-p/q｜<Ψ(q)对无穷多个p/q成立,并且,ξ-p/q｜≥cΨ(q),对比<1,(?)q≥q0(c,ξ)成立,其中q0(c,ξ)是依赖于c和ξ的正实数}.Bad(Ψ)：={ξ∈R：｜ξ-p/q｜<Ψ(q)对无穷多个p/q成立,并且,ξ-p/q｜≥c(ξ)Ψ(q),(?)p/q,其中c(ξ)>0是依赖于ξ的实数}.本文探讨了被有理数精确逼近的实数集的Hausdorff维数与Hausdorff测度.分为三个部分.第一部分绪论主要介绍了问题的一些相关研究背景和研究现状.第二部分预备知识,主要给出一些相关定义,基础知识以及辅助引理.第三部分是本文的主要内容,给出集合Exact(Ψ),Bad(Ψ)和κ(Ψ)的度量关系：集合Exact(Ψ)和κ(Ψ)有相同的Hausdorff维数.而且,集合Bad(Ψ)和κ(Ψ)有相同的Hausdorff测度.

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-7
1 绪论  7-10
  1.1 问题的研究背景  7-8
  1.2 问题的研究现状  8-9
  1.3 本文的结构安排  9-10
2 预备知识  10-15
  2.1 测度和维数的定义  10-11
  2.2 连分数的相关结论  11-12
  2.3 测度和维数下界的相关结论  12-15
3 本文结论及其证明  15-28
  3.1 本文主要结论  15-17
  3.2 定理3.1的证明  17-22
  3.3 定理3.2的证明  22-28
4 结束语  28-29
致谢  29-30
参考文献  30-31

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