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参数曲线造型中保形理论与算法的研究

作　者: 潘永娟
导　师: 王国瑾
学　校: 浙江大学
专　业: 计算机辅助几何设计与计算机图形学
关键词: 奇异混合形状参数 B样条 α-B样条曲线 Bernstein多项式保单调保凸保形相对曲率三角多项式曲线 α-三角多项式曲线
分类号: TP391.7
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

保形插值是几何设计的一项基本技术,在自由型曲线曲面造型、数值逼近以及逆向工程等领域中都有重要的应用价值.然而现有的保形插值方法都还存在或多或少的不足,如:绝大多数方法都只适用于函数型点列,真正适用于参数型点列的方法很少;或都需要通过求解方程组或繁琐的迭代过程或求解一个最值问题,才能得到保形的插值曲线.有鉴于此,本文在深入研究了曲线曲面造型中的各种保形理论与算法的基础上,提出了几类新的保形插值的方法,解决了已有保形插值方法存在的不足,主要成果及创新点为:1.利用奇异混合的思想构造出一类带有形状参数的多项式样条曲线,即均匀α-B样条曲线,在无需反求方程组、迭代过程和最值求解的情况下就能轻松做到插值给定的点列;它含有形状参数α,这就增加了曲线的柔性,同时又和原B样条曲线具有相同的参数连续性.再利用Bernstein多项式的正性条件,找到形状参数α的取值范围,使得当且仅当参数α在该范围内时,相应的整条α-B样条插值曲线都是保单调的,且为C~2连续;其次,为实际使用方便并提高算法效能,对α-B样条插值曲线的每段曲线,选取不同的参数,使整条曲线也是保单调的,并达到G~1连续.2.进一步研究了上述均匀α-B样条曲线的保凸插值问题.首先推导出该类曲线的相对曲率的表达式;然后对每一个整体凸的点列,利用相对曲率不变号的准则找出形状参数α的统一的或分段的取值范围,使得与该范围内每个形状参数相应的插值样条曲线都是保凸的.接着,将上述结论推广到分段凸点列的情形,最终得出一个方便快捷的自动保凸插值方法.3.为了能通过调整节点间距来改变连续阶,使得曲线上有尖点或夹有直线段,给设计千姿百态的复杂曲线提供可能.我们接着引进了非均匀α-B样条曲线,并相应地研究其保形(保单调和保凸)插值的可能性与算法.对单调点列,得到了非均匀α-B样条插值曲线保单调的充要条件;对凸点列,在一定的条件下得到曲线无拐点和尖点的充分条件.4.为了弥补普通三角多项式样条曲线在形状调整方面的不足,同时又考虑到多项式样条曲线不能精确表示一些超越曲线,我们利用奇异混合的思想构造了一种新的带有形状控制参数的三角多项式样条曲线.在无需反求方程组、迭代计算和最值求解的前提下,即可产生插值给定点列的C~2或G~1连续的一族三角多项式样条曲线;进一步研究了该类曲线的保凸性,得到插值曲线保凸时形状参数的取值范围.该方法较好地解决了超越曲线的保形插值问题.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-8
目录  8-11
第一章绪论  11-43
  1.1 CAGD中曲线曲面造型方法的发展历史及现状  11-18
    1.1.1 曲线曲面造型的简要回顾  12
    1.1.2 一些新的曲线曲面造型技术  12-17
    1.1.3 曲线曲面造型的现状及发展趋势  17-18
  1.2 带有形状控制参数的样条曲线  18-31
    1.2.1 张力样条或带有形状控制参数的指数(双曲)样条  18-19
    1.2.2 v-样条  19-20
    1.2.3 以每段曲线的次数作为形状参数  20
    1.2.4 加入新节点并以加入的新节点为形状参数  20-21
    1.2.5 在基函数中加入形状控制参数  21-25
    1.2.6 在控制顶点中加入形状控制参数  25-28
    1.2.7 含有形状控制参数的有理样条曲线  28-29
    1.2.8 奇异混合形式的含有形状控制参数的曲线  29-30
    1.2.9 其它形状参数的取法  30-31
  1.3 保形及保形插值的理论与方法  31-40
    1.3.1 曲线(曲面)相对于其控制多边形(控制网格)的保形  31-32
    1.3.2 保形逼近  32-35
    1.3.3 保形插值  35-40
  1.4 本文的主要研究内容  40-43
第二章均匀α-B样条曲线的保单调插值  43-63
  2.1 引言  43
  2.2 单调点列和单调曲线的定义  43-46
  2.3 均匀α-B样条插值曲线的构造——保单调  46-51
  2.4 均匀α-B样条曲线保单调插值的充要条件  51-58
  2.5 分段取不同形状参数的α-B样条曲线的保单调插值  58-60
  2.6 数值例子  60-61
  2.7 小结  61-63
第三章均匀α-B样条曲线的保凸插值  63-91
  3.1 引言  63-64
  3.2 凸点列和凸曲线的定义  64-65
  3.3 均匀α-B样条插值曲线的构造——保凸  65-67
  3.4 相应于一个凸点列的α-B样条曲线的保凸插值  67-82
    3.4.1 在节点区间[u_j,u_(j+1)]上曲线Q_j(u,α)的凸性  67-77
    3.4.2 整条α-B样条插值曲线Q(u,α)(u_1≤u≤u_n)的凸性  77-79
      3.4.2.1 整条α-B样条曲线取统一形状参数的保凸插值  77-79
      3.4.2.2 分段取不同形状参数的α-B样条曲线的保凸插值  79
    3.4.3 点列为整段凸的例子  79-82
  3.5 相应于分段凸点列的α-B样条曲线的保凸插值  82-85
    3.5.1 将点列{P_i}_(i=1)~n分成若干个凸的子点列  82-83
    3.5.2 α-B样条曲线的分段保凸插值  83-85
  3.6 数值例子  85-90
  3.7 小结  90-91
第四章非均匀α-B样条曲线的保形插值  91-123
  4.1 引言  91
  4.2 非均匀α-B样条插值曲线的构造  91-95
  4.3 非均匀α-B样条插值曲线的连续阶控制  95-102
    4.3.1 在插值点形成尖点  95-96
    4.3.2 在插值点连续阶为C~1  96-97
    4.3.3 在两个相邻插值点之间夹一条直线段  97-100
    4.3.4 非均匀α-B样条插值曲线的造型实例  100-102
  4.4 非均匀α-B样条曲线的保单调插值  102-113
    4.4.1 非均匀α-B样条曲线保单调插值的充要条件  103-110
    4.4.2 分段取不同形状参数的非均匀a-B样条曲线的保单调插值  110
    4.4.3 数值例子  110-113
  4.5 非均匀α-B样条曲线的保凸插值  113-121
    4.5.1 非均匀α-B样条曲线保凸插值的条件  113-121
  4.6 小结  121-123
第五章均匀α-三角多项式样条曲线的保凸插值  123-145
  5.1 引言  123-124
  5.2 均匀α-三角多项式样条插值曲线的构造  124-126
  5.3 相应于一个凸点列的α-三角多项式样条曲线的保凸插值  126-140
    5.3.1 在节点区间[u_j,u_(j+1)]上曲线T_j(u,α)的凸性  126-135
    5.3.2 整条α-三角多项式样条曲线T(u,α)(u_1≤u≤u_n)的凸性  135-137
      5.3.2.1 整条α-三角多项式样条曲线取统一形状参数的保凸插值  135-136
      5.3.2.2 分段取不同形状参数的情形  136-137
    5.3.3 点列为整段凸的例子  137-140
  5.4 相应于分段凸点列的α-三角多项式样条曲线的保凸插值  140-141
  5.5 数值例子  141-143
  5.6 小结  143-145
第六章结论与展望  145-149
  6.1 全文总结  145-146
  6.2 今后研究工作展望  146-149
参考文献  149-175
攻读博士学位期间完成的论文情况  175-176
致谢  176

参数曲线造型中保形理论与算法的研究

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