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非线性互补问题的光滑化牛顿型方法研究

作　者: 陈小红
导　师: 马昌凤
学　校: 桂林电子科技大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性互补问题互补函数光滑牛顿法 Broyden族方法正则化方法修正Jacobian光滑化方法收敛性
分类号: O242.23
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

互补问题自1963年首次提出以后便得到了广大研究者的重视,一直是数学规划研究中较为活跃的分支,无论是理论研究还是数值算法,近年来都取得了丰硕的成果。本文主要基于各种光滑牛顿法的思想和光滑理论,针对F为P₀函数的情况,介绍一种新的光滑互补函数,将互补问题转化为求解一系列光滑的非线性方程组,然后用牛顿法的思想进行求解,从而得到了求解互补问题的一类光滑牛顿算法;为了确保Φ′（x）的非奇异性,结合Broyden族校正方法,提出了求解非线性互补问题的Broyden族光滑化方法。在较弱的条件下,此算法具有全局收敛性和局部超线性收敛性。对于奇异的非线性互补问题,即F有可能是病态的情形,结合正则化的思想,把原互补问题转化为一个良态的非线性互补问题NCP（F_μ）,并以扰动参数μ作为光滑参数,从而得到一个新的求解非线性互补问题的正则化光滑牛顿算法,此算法要求在F为P₀函数的假设下,才能可行且具有较好的收敛性。而对于一股的非线性互补问题,为了去掉这个假设,当牛顿步不可解时,本文将结合梯度步对上述正则化光滑牛顿算法进行改进,从而得到求解一般非线性互补问题的修正Jacobian光滑化方法,此算法具有全局收敛性。在解点R正则的条件下,该算法还具有超线性和局部二次收敛性。数值结果表明,上述的算法具有全局收敛性,并在一定的条件下,均能达到超线性/二次收敛性。全文共分七章,各部分内容安排如下:第一章是绪论部分,介绍互补问题的应用背景和近年来有关互补问题求解的方法;第二、三、四、五章为本文的重点,着重介绍了求解非线性互补问题的四种相关的算法及其收敛性,这四种算法分别为一步光滑牛顿法、Broyden族光滑化方法、正则光滑牛顿法和修正Jacobian光滑化方法;第六章是数值实验,通过互补问题典型的数值算例,进一步说明了本文算法具有良好的收敛性和有效性;最后是对本文的总结和对将来研究工作的展望。

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-7
第一章绪论  7-14
  1.1 互补问题概述  7
  1.2 算法的研究背景  7-11
  1.3 本文主要工作及内容安排  11-12
  1.4 符号介绍  12-14
第二章 P_0函数非线性互补问题的一步光滑牛顿法  14-28
  2.1 引言  14
  2.2 一个新的光滑函数及其性质  14-17
  2.3 算法和预备知识  17-20
  2.4 全局收敛性  20-24
  2.5 超线性/二次收敛性  24-27
  2.6 结论  27-28
第三章 P_0非线性互补问题的光滑Broyden方法  28-41
  3.1 引言  28-30
  3.2 算法和预备知识  30-34
  3.3 收敛性分析  34-40
  3.4 结论  40-41
第四章 P_0非线性互补问题的正则光滑牛顿法  41-52
  4.1 引言  41-42
  4.2 预备知识  42-45
  4.3 正则光滑牛顿法  45-48
  4.4 收敛性分析  48-51
    4.4.1 全局收敛性  48-50
    4.4.2 收敛性分析  50-51
  4.5 结论  51-52
第五章非线性互补问题的修正Jacobian光滑化方法  52-61
  5.1 预备知识及算法  52-55
  5.2 收敛性分析  55-60
  5.3 结论  60-61
第六章数值实验  61-65
  6.1 关于一步光滑牛顿法的数值结果  61-62
  6.2 关于光滑Broyden方法的数值结果  62-63
  6.3 关于正则光滑牛顿法的数值结果  63-65
第七章结论与展望  65-66
参考文献  66-71
致谢  71-72
作者在攻读硕士期间的主要研究成果  72

非线性互补问题的光滑化牛顿型方法研究

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