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抛物型方程反问题的数值解法研究

作　者: 李义军
导　师: 刘振海
学　校: 长沙理工大学
专　业: 基础数学
关键词: 抛物型偏微分方程反问题差分格式稳定性收敛性未知参数最小二乘法
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 118次
引　用: 2次
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内容摘要

在自然科学与工程技术领域中有许多问题都可以用偏微分方程来描述,研究偏微分方程的数值解是解决上述问题的有力工具。而偏微分方程的数值解的研究己成为一门专门的学科,国内外有很多学者在这个领域进行研究,并利用各种数值方法和最新的研究结果来解决工程中的实际问题。当偏微分方程中的算子、右端项、边界条件、初始条件从过去的已知变成未知,而原方程的解仍然未知时,就构成了偏微分方程的反问题。由于反问题的不适定性与非线性性,使得它的理论研究与数值求解都比正问题困难的多,而且涉及面广。所以如何解决这些问题,成为广大数学工作者、自然科学工作者及工程技术人员努力开拓的一个崭新的学科领域。本文应用有限差分方法,研究了第二边值条件下抛物型偏微分方程反问题的数值解法,在第二边值条件的基础上,假设其中一个边界条件也是未知的,然后利用附加条件同时确定抛物型偏微分方程中的多个未知参数的数值解法做了进一步的研究,并进行了相应的数值实验。数值结果表明,在解决形式复杂的抛物型反问题中,本文的处理方法具有精度高、稳定性好等优点。另外本文还讨论了一类抛物型偏微分方程反问题的一种差分解法—向前差分格式,利用极值原理证明了该差分格式的稳定性和收敛性,并给出了在离散L~∞模意义下收敛阶数为O (τ+ h~2),数值例子验证了理论分析结果。

全文目录

摘要  5-6
ABSTRACT  6-9
第一章绪论  9-17
  1.1 课题研究的背景及研究意义  9-10
  1.2 国内外的研究发展现状  10
  1.3 微分方程正问题  10-11
  1.4 微分方程反问题  11-16
    1.4.1 反问题形式  12-13
    1.4.2 反问题的分类及研究内容  13-14
    1.4.3 研究反问题的理论方法和数值方法  14-15
    1.4.4 微分方程反问题面临的困难  15
    1.4.5 研究反问题的发展前景展望  15-16
  1.5 本文的主要研究工作  16-17
第二章第二边值条件下抛物型反问题的数值解法  17-27
  2.1 引言  17-18
  2.2 差分格式的建立  18-22
    2.2.1 向前差分格式  20-21
    2.2.2 向后差分格式  21-22
    2.2.3 Crank-Nicholson格式  22
    2.2.4 第一类Saulyev 格式  22
  2.3 参数识别  22-23
  2.4 数值实验  23-25
  2.5 小结  25-27
第三章一类确定抛物型方程未知参数的反问题的数值解法  27-35
  3.1 介绍  27-28
  3.2 差分格式的建立  28-30
  3.3 参数识别  30-31
  3.4 数值实验  31-33
  3.5 小结  33-35
第四章一维抛物型反问题差分解法的稳定性和收敛性  35-42
  4.1 引言  35
  4.2 抛物型反问题的差分格式的建立  35-37
  4.3 差分格式解的存在性、稳定性和收敛性  37-39
    4.3.1 存在性  38
    4.3.2 稳定性  38
    4.3.3 收敛性  38-39
  4.4 数值实验  39-41
  4.5 小结  41-42
总结  42-43
参考文献  43-46
致谢  46-47
附录（攻读学位期间发表论文目录）  47

抛物型方程反问题的数值解法研究

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