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抛物型方程的Shannon小波配点法

作　者: 史策
导　师: 曲小钢
学　校: 西安建筑科技大学
专　业: 计算数学
关键词: 抛物型偏微分方程数值解 Shannon小波配点法小波基
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 22次
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内容摘要

小波分析作为近些年来国内外发展非常迅速的一门学科,被广泛地应用于实际问题当中。正是因为其广泛的应用性,愈来愈多的学者投身于利用小波分析来求解科学技术中诸多领域中的问题,并产生了很多有用的算法。能够将小波分析应用于偏微分方程的数值求解是由小波函数的特性决定的。由于小波具有局部紧支性和光滑性,与传统求解偏微分方程方法比较,能够比较好的解决奇异性问题。小波函数在其空间和频域中都有很好的局部性,可以依据所研究对象的不同频率自动调节取样步长,将信号分解为交织在一起的多种尺度,并可聚焦到对象的任何细节上。因此,越来越多的学者开始使用小波分析来求解偏微分方程,常见的方法有小波配点法、小波有限元法等。本文首先讨论了小波分析产生的背景、起源、发展、现状,以及偏微分方程的定义和分类。其次讨论了小波分析的理论基础,如Shannon小波函数、基函数、加窗函数、共轭镜像滤波器、多分辨分析以及正交小波理论等。最后研究了Shannon小波配点法在一维抛物型方程求解中的应用。运用小波分析理论,针对一维抛物型方程,将一维Shannon尺度函数引入到抛物型方程求解中,选取一个适当的加窗基函数,证明了该基函数的正交性、插值性和再生性。利用一维多分辨分析理论,分别给出了一维抛物型方程的解的近似表达式再运用小波配点法对一维抛物型方程进行空间离散,将该问题转化为常微分方程组,利用龙格-库塔法对方程组进行求解。数值解结果显示,本文所采用的方法具有一定的精确度。

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-9
1. 绪论  9-20
  1.1 小波理论的起源与发展  9-10
    1.1.1 小波理论的起源  9
    1.1.2 小波分析理论的应用  9-10
  1.2 偏微分方程的定义与分类  10-14
    1.2.1 偏微分方程定义  10-11
    1.2.2 偏微分方程的分类  11-14
  1.3 本文研究的目的意义以及小波的发展现状  14-18
    1.3.1 本文研究的目的与意义  14-16
    1.3.2 偏微分方程小波数值解法的发展现状  16-18
  1.4 本文的主要工作  18-20
2. Shannon 小波基础知识  20-38
  2.1 傅里叶变换  20-22
    2.1.1 L~1( R )傅里叶变换  20-21
    2.1.2 L~2(R) 傅里叶变换  21-22
  2.2 窗口傅里叶变换  22-25
    2.2.1 Gabor 变换  22-23
    2.2.2 窗口傅里叶变换  23-25
  2.3 小波与小波变换  25-29
    2.3.1 小波及连续小波  25-26
    2.3.2 小波的多分辨分析  26-28
    2.3.3 共轭镜像滤波器  28-29
  2.4 正交小波基的构造  29-31
  2.5 Shannon 小波的定义及其应用  31-38
    2.5.1 Shannon 小波的构造  31-34
    2.5.2 Shannon 正交小波的构造  34-37
    2.5.3 小波和滤波器组  37-38
3. 小波配点法  38-54
  3.1 算法的理论基础  38-49
    3.1.1 小波空间及小波的系数展开  38-39
    3.1.2 一维抛物型方程的求解算法  39-46
    3.1.3 算法与计算流程  46-48
    3.1.4 用四阶龙格-库塔方法求解抛物型方程  48-49
  3.2 算法的稳定性讨论  49-53
    3.2.1 小波变换与正则性分析  49-50
    3.2.2 Lipschitz 正则性  50-51
    3.2.3 算法稳定性分析  51-53
  3.3 本章小结  53-54
4. 小波配点法求解抛物型方程  54-66
  4.1 数值结果  54-64
  4.2 本章小结  64-66
5. 总结  66-67
致谢  67-68
参考文献  68-72
攻读学位期间发表的学术论文  72-73
附录：算法主程序  73-85

抛物型方程的Shannon小波配点法

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