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几何规划的信赖域法

作　者: 党亚峥
导　师: 景书杰
学　校: 河南理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 几何规划信赖域法收敛性
分类号: O221
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

几何规划是最优化方法中的一种特殊方法,其目标函数和约束函数是广义多元多项式,即变量的乘幂的连乘积的代数和的形式,或其等价形式。几何规划作为一种特殊的优化方法它还包含了线性,二次,有理分式等。几何规划在形式上和性质上都有独特的特点,基于此,已经产生了许多有效的算法。信赖域法具有好的性质,即可靠性和强适性(robust)以及较强的收敛性,因而自出现之日起就受到非线性优化研究界的广泛重视,成为一个研究热点。本论文主要的研究意向就是把信赖域法应用于几何规划上来,从而为几何规划提供出更好,更快捷的算法。本论文的研究成果主要概括为以下三个方面：(1)针对无约束最优化问题,提出一种新的非单调的BFGS信赖域算法。该算法给出了一个解无约束最优化问题的非单调的新的BFGS校正的信赖域算法。将非单调算法应用于解信赖域问题,前人已卓有成效。本文的关键之处就是提出了新的BFGS校正公式,此算法具有较好的性质,所给的BFGS校正的具有二次约束的信赖域子问题总保证校正矩阵是正定的,也即信赖域子问题是严格凸二次规划。在较少的假设条件下还结合相关理论证明了所提供的算法具有全局收敛性。(2)针对具有约束的正定式几何规划,从正定式几何规划的对偶规划入手,给出了以下三种算法：(i)提出了用信赖域算法与传统的内点算法相结合的方法来解决几何规划问题,信赖域算法具有较好的可靠性与强适性,将其与内点算法相结合构造出了求解正定式几何规划的一种新的算法.这种技巧不但可以减少迭代步从而减少计算量,而且还可以克服几何规划困难度太大而无法求解这个难点。还证明了该算法的有效性,且在一定的条件下证明了该算法所产生的迭代序列的每一个聚点都是原问题的最优解。(ii)将广义梯度投影算法与内点算法相结合,来解决几何规划问题,构造出了解约束正定式几何规划的一种新的算法,并讨论了算法的收敛性质,该法具有计算结构简单,计算量小,稳定性强等优点。(iii)用广义投影算法与信赖域内点法相结合去解决非线性规划问题,并在一定条件下证明了这种算法的全局收敛性。(3)针对无约束广义几何规划问题,将原问题转化为一个一般的无约束优化问题,并获得其梯度和海色矩阵的特殊表达式,所建立的压缩信赖域子问题比一般意义下的信赖域子问题的维数低,并构造出特殊的压缩共轭路径的非单调法来求解该压缩信赖域子问题.算法通过求解序列压缩信赖域子问题来获得原问题的最优解,并具有全局收敛性和局部二阶收敛速度

全文目录

中文摘要  4-6
Abstract  6-10
第1章引言  10-26
  1.1 几何规划的发展过程,基本理论,研究进展和研究意义  10-20
    1.1.1 几何规划的发展过程  10
    1.1.2 几何规划的基本理论  10-16
    1.1.3 几何规划的研究进展  16-20
    1.1.4 几何规划的研究意义  20
  1.2 信赖域方法  20-23
    1.2.1 无约束信赖域方法  20-21
    1.2.2 约束信赖域方法  21-23
    1.2.3 信赖域方法的研究前景  23
  1.3 信赖域法与几何规划法  23-24
  1.4 本文的研究内容  24-25
  1.5 主要符号表  25-26
第2章解无约束最优化问题的一个非单调的新的BFGS信赖域算法  26-33
  2.1 引言  26-27
  2.2 算法及性质  27-28
  2.3 收敛性分析  28-33
第3章几何规划的信赖域内点算法  33-40
  3.1 引言  33-35
  3.2 算法  35-37
  3.3 收敛性  37-40
第4章几何规划的广义梯度投影内点算法  40-46
  4.1 引言  40-42
  4.2 算法  42
  4.3 算法的收敛性  42-46
第5章一种几何规划的投影信赖域内点算法  46-53
  5.1 引言  46-48
  5.2 假设和符号  48
  5.3 算法  48-50
  5.4 全局收敛性  50-53
第6章广义几何规划的压缩共轭梯度路径非单调信赖域算法  53-58
  6.1 引言  53-54
  6.2 算法  54-55
  6.3 收敛性分析  55-58
第7章总结与展望  58-60
参考文献  60-66
附录  66-74
致谢  74

几何规划的信赖域法

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