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S~2×S~2中的拉格朗日曲面

作　者: 牛景辰
导　师: 李海中
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: S~2×S~2 拉格朗日曲面几何不等式
分类号: O186.11
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 24次
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内容摘要

在4维流形里,K（a|¨）hler-Einstein的乘积空间S~2×S~2是除复空间形式C~2,CP~2和畃畈2外较为重要的几何对象,其中的曲面论研究也非常丰富. S~2×S~2中的很多类拉格朗日(Lagrangian)曲面:极小,平行平均曲率, Hamiltonian稳定,Hamiltonian极小等,都存在重要的研究结果.本文通过子流形的各种理论和方法,主要研究S~2×S~2中满足一个几何等式|σ|~2 = 3|H|~2的Lagrangian曲面.从S~2×S~2的Lagrangian曲面上的Jacobian函数出发,我们研究了满足|σ|~2 = 3|H|~2的曲面的局部性质,并证明在一些特殊的几何条件下,这样的曲面退化为全测地的球面M0或全测地环面T.另外我们还给出了这样的曲面的可积性方程.此外我们还研究了满足|σ|~2 = 3|H|~2的曲面的整体性质,给出了曲面的拓扑限制,并构造了一个Lagrangian球面的例子.该Lagrangian球面是非全测地的,这意味着S~2×S~2中满足该几何不等式的Lagrangian球面并非只有全测地的M0.因此这个例子表明了这一类曲面的分类问题中存在的障碍.将本文的结论与I. Castro和F. Urbano关于S~2×S~2中极小Lagrangian曲面的研究结果相比较,我们看到这两类曲面具有许多相似的性质.

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-6
第1章引言  6-8
第2章一个几何不等式  8-11
第3章 S~2 ×S~2 中的Lagrangian曲面  11-17
  3.1 S~2 ×S~2 的几何结构  11-12
    3.1.1 S~2 ×S~2 的k（a|¨）hler结构  11
    3.1.2 S~2 ×S~2 上的等距群  11-12
  3.2 S~2 ×S~2 →R~2 的第二基本形式  12
  3.3 S~2 ×S~2 中的Lagrangian 曲面  12-17
    3.3.1 Jacobian函数  12-14
    3.3.2 全测地的Lagrangian曲面  14-15
    3.3.3 特殊的Lagrangian曲面  15-17
第4章局部计算  17-21
  4.1 记号与初步的计算  17-19
  4.2 可积性方程  19-21
第5章 |σ|~2 =3|H|~2的Lagrangian曲面  21-26
  5.1 常Gauβ曲率的曲面  23-26
第6章 |σ|~2 =3|H|~2的闭Lagrangian曲面  26-34
  6.1 整体性质  26-28
  6.2 Lagrangian球面的例子  28-34
第7章结论  34-35
参考文献  35-36
致谢  36-37
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  37

S~2×S~2中的拉格朗日曲面

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