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几类偏微分方程的自适应最小二乘混合有限元方法

作　者: 李宏伟
导　师: 顾海明
学　校: 青岛科技大学
专　业: 应用数学
关键词: 自适应最小二乘混合有限元法椭圆方程抛物方程 Burgers方程后验误差估计
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 145次
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内容摘要

本文研究了实际问题中遇到的几类偏微分方程的数值方法,在系统地学习和吸收有限元主要理论的基础之上,将自适应计算和最小二乘混合有限元方法相结合求解二阶椭圆方程、四阶椭圆方程、二阶抛物方程、四阶抛物方程以及Burgers方程。根据这几类偏微分方程的特点运用自适应最小二乘混合有限元方法进行求解,首先将原问题化为未知函数和通量函数的低阶方程组,而后将自适应最小二乘有限元方法用于此低阶方程组的每一个方程,因而可以同时得到对未知函数和通量函数的最优逼近,该方法降低了有限元方法对有限元空间的光滑性要求;另一方面,允许有限元空间具有不同的多项式次数,不必满足标准有限元空间所要求的LBB稳定性条件。本文对相应的有限元空间逼近格式做了理论上的分析,验证了有限元空间构造的合理性。利用最小二乘函数构造了自适应计算中用到的后验误差估计子,并对相应的后验误差估计子进行了有效的后验误差估计。本文重点进行了自适应最小二乘混合有限元方法的理论研究,研究结果表明本文提出的自适应最小二乘混合有限元方法是可行的。本文共分为六章:第一章绪论部分简要介绍了自适应最小二乘混合有限元法的发展历程以及本文用到的基础知识。第二至六章分别研究了二阶椭圆方程、四阶椭圆方程、二阶抛物方程、四阶抛物方程以及Burgers方程的自适应最小二乘混合有限元方法。

全文目录

摘要  4-5
ABSTRACT  5-8
1 绪论  8-13
  1.1 问题提出的背景  8-9
  1.2 发展方程简介  9-10
  1.3 预备知识  10-13
2 二阶椭圆方程的自适应最小二乘混合有限元法  13-20
  2.1 二阶椭圆方程的最小二乘格式  13-16
  2.2 有限元逼近  16-18
  2.3 后验误差估计  18-20
3 四阶椭圆方程的自适应最小二乘混合有限元法  20-25
  3.1 四阶椭圆方程的最小二乘格式  20-22
  3.2 有限元逼近  22-23
  3.3 后验误差估计  23-25
4 二阶抛物方程的自适应最小二乘混合有限元法  25-38
  4.1 问题的提出  25-29
  4.2 有限元逼近  29-31
  4.3 后验误差估计  31-32
  4.4 误差估计  32-38
5 四阶抛物方程的自适应最小二乘混合有限元法  38-43
  5.1 问题的提出  38-40
  5.2 有限元空间的逼近  40-41
  5.3 后验误差估计  41-43
6 BURGERS 方程的自适应最小二乘混合有限元法  43-54
  6.1 问题的提出  43-47
    6.1.1 BURGERS 方程的最小二乘函数  43-46
    6.1.2 BURGERS 方程关于时间上的最小二乘函数  46-47
  6.2 有限元逼近  47-51
    6.2.1 BURGERS 方程的半离散格式  47-50
    6.2.2 BURGERS 方程的全离散格式  50-51
  6.3 后验误差估计  51-54
    6.3.1 空间误差估计  51-52
    6.3.2 时间误差估计  52-54
结论  54-55
参考文献  55-58
致谢  58-59
攻读学位期间发表(完成)的学术论文目录  59-60

几类偏微分方程的自适应最小二乘混合有限元方法

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